Quadratische Lö^jungen des Normalenproblems von Kegelschnitten. 5 



räumliche Betrachtungen abgeleiteten Konstruktionen zurückführen. 

 Dort wird beispielsweise in der Figur 6 M^ N=^ OM^ auf b aufge- 

 tragen, dann ein Kreis durch N um als Mittelpunkt gelegt und h 

 in E geschnitten. Schliesslich wird ein Kreis vom Radius AR ge- 

 zeichnet, der seinen Mittelpunkt in N hat; dieser Kreis schneidet 

 alsdann a in unseren Punkten U ,V . Da NU = NV = AR =. M, Br,, 

 SO sind die Dreiecke OM^B^^ M-^ U^N und il/, V^^ N kongruent und 

 es liegen somit U^, F^ auf dem durch B^ gehenden Kreise mit dem 

 Mittelpunkte M^. Analoges ergibt der Vergleich der Fig. ba mit 

 unserer Fig. 4. 



4. Aus dem Zusammenhange zwischen P und 31 ersehen wir, 

 wenn P seine Lage verändert auf J-^ eine Punktreihe beschreibend^ 

 dass il/auf d^ eine zu ihr perspektiv ähnliche Puuktreihe beschreibt; 

 deshalb behält hiebei beispielsweise Pil/^ dieselbe Richtung. Ist also 

 für einen beliebigen Punkt P von ^^ das Norraalenproblera gelöst 

 worden, dann vereinfacht sich die Konstruktion für jeden anderen 

 Punkt P'^ von z/^ , indem man den zugehörigen Punkt M^'^ auf a 

 einfach mithilfe der Parallelen zu P^I^ durch i'^ festlegt. 



Bezeichnen wir — Fig. 5. — den Schnitt der Scheiteltangenten 

 in A und B. mit M , so trifft die Senkrechte durch M zu AB. die 

 Axen a, h in den zu A, B^ gehörigen Krümmungsmittelpunkten /f , 

 resp. Z . Die Parallelen durch diese Punkte zu den Axen schneiden 

 sich in P^ auf /i^ und es ist offenbar 1/^ der Mittelpunkt der 

 ApoUonis.hen Hyperbel für den Punkt F^. Daraus folgt für irgend 

 einen Punkt Pauf z/^ , dass PM^ \\ P,^-4. Weiter ist ersichtlich, wenn 

 wir den Schnittpunkt von P,,^^^ mit der Scheiteltangente t^ in P^ 

 durch / und den Schnittpunkt von P^^^Ä'^j mit der Scheiteltangente i 

 in A durch //bezeichnen, dass /A|[z/j und IIB^z=J^. , -j 



Wird /J^ von t im Punkte /l^, , von t^ im Punkte B^ getroffen,: 

 so ist dann B,P — 0A^= BAI und A^P — OB.— AI. ■ :\\ 



Diese Bemerkungen ergeben bequeme Konstruktionen von Mý 

 und somit des Normalenproblems für Punkte auf z/,. 



Man zieht nämlich entweder durch A die Parallele zu z/^, 

 schneidet sie mit t^ in / und zieht die Parallele durch / zu è, welche 

 z/^ in P^, schneidet oder zieht man durch B^ die Parallele zu z/^ 

 und von ihrem Schnitt // mit t die Parallele zu a, welche A^ wieder 

 in P schneidet. 



In unserer Figur 6 haben wir z/j mit den Scheiteltangenten t^ t^ 

 in A^^ P^ geschnitten und B^P^^ ■=. OA^ gemacht. Hierauf wurde a 

 in M^ mit der Parallelen durch P zu P^^A geschnitten und wie zuvor 



