Q VII. J. Sobotka: 



ein Kreis s beschrieben, der k^^ diametral schneidet, ilf, zum Mittel- 

 punkt hat und auf a die Punkte ř7,,F^ festlegt. 



Man kann auch — Fig. 5. — den Punkt / in früherer Weise 

 bestimmen und Ol mit der zu b durch P gezogenen Parallelen in L 

 schneiden. Die Parallele zu z/^ durch L trifft a im Punkte il/,. Denn 

 aus der ähnlichen Lage der Dreiecke PL3I^ , P^JA folgt LM^ || M || ^^. 



5. Zu den Geraden p^ 2h ^^ ^^^' Ebene einer Hyperbel k von 

 der am Eingange unserer Betrachtungen betonten Eigenschaft können 

 wir^ wie folgt, gelangen. 



Jede Hyperbel, welche durch den Mittelpunkt von h geht 

 und deren Asymptoten a, b parallel zu den Axen von k sind, ist- 

 eine Apollonische. Betrachten wir den Schnittpunkt D der Asymptote 

 a mit Ď, so sind seine Polaren inbezug auf k und h parallel zu a. 

 Die Gerade b schneidet h iü und in einem unendlich fernen Punkte, 

 weshalb die Entfernung des Punktes D von seiner Polare d inbezug 

 auf h durch à halbiert wird. Nun besitzt die Involution konjugierter 

 Punkte auf b inbezug auf k gleichfalls ein symmetrisches Paar BB^^. 

 Daraus folgte, wenn man die zur Hauptaxe der Hyperbel k parallele 

 Gerade a, die durch einen Endpunkt B der Nebenaxe b geht als 

 Asymptote der Apollonischen Hyperbel h annimmt, dass die durch 

 den zweiten Endpunkt -S^ von b zu a gezogene Parallele a^ gemein- 

 schaftliche Polare von B inbezug auf beide Kegelschnitte k, h ist, 

 wodurch die Konstruktion der Schnittpunkte dieser Kegelschnitte hier 

 auf quadratische Aufgaben zurückgeführt ist. 



Um zu einer solchen Hyperbel h den zugehörigen Punkt P zu 

 finden, schneiden wird — Fig. 2. — a mit der Asymptote j von k 

 in Jn. Die Senkrechte in J„ zuj schneidet b nach Früherem (Art. 2) im 

 Punkte Pn , welcher für alle Punkte P gemeinschaftlich ist, weil alle 

 Hyperbeln h hier dieselbe Gerade a zur Asymptote haben. Daraus 

 folgt, dass die Punkte P auf einer zu a parallelen Geraden p liegen, 



welche von a die Entfernung + -j- besitzt, wie sich aus dem recht- 

 winkeligen Dreiecke ^./„Pg ohneweiters ergibt, da ja B=:ba 

 ein Endpunkt der Nebenaxe ist. Um dann den Punkt P festzulegen 

 haben wir nach Früherem blos den Mittelpunkt 31 von h, mit P^ zu 

 verbinden; die Verbindungsgerade schneidet alsdann auf a den 

 Punkt Pj ein, wodurch P selbst bestimmt ist. Man sieht nebenbei, 

 dass die Mittelpunkte M und die zugehörigen Punkte Pzwei perspektiv 

 ähnliche Punktreihen bilden. 



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