Quadratische LösuQgen des N"ormalenproblenis von Kegelschnitten. 7 



6. Die Konstruktion der Normalen an die Hyperbel Je von irgend 

 einem Punkte P der Geraden /; gestaltet sich einfach und über- 

 sichtlich, wenn wir Ic in orthogonalaffiiie Lage für a als Affinitätsaxe 

 mit einer gleichseitigen Hyperbel ä-q bringen. Durch diese Trans- 

 foimation geht auch h wieder in eine gleichseit'ge Hyperbel ä^ über, 

 die gleichzeitig eine Apollonische Hyperbel von Jc^ sein wird für einen 

 Punkt Qy , der aber nicht dem Punkte P durch unsere Transformation 

 entspricht. Die zu a parallele Gerade q, auf welcher die Punkte Q^ 

 liegen, hat alsdann von a die Entfernung + 2a. 



Aus diesem Grund wollen wir uns zunächst mit der Konstruktion 

 des Normalenproblems von k^ für irgend einen Punkt Q der Geraden 

 q befassen. — Fig. 7, 



Die Asymptote a der Apollonischen Hyperbel h^ für den Punkt 

 Q halbiert die Entfernung zwischen a und q. Darum ist OQ ein 

 Durchmesser der Hyperbel /?o , der a in deren Mittelpunkte M trifft. 

 Schneidet die Asymptote b von h^ die zu a inbozug auf a symmetrische 

 Gerade n^ im Punkte L^ , so ist OL^ die Tangente in an h^, und 

 folglich sind Z(,, B^ zwei konjugierte Punkte vo:i a^ inbezug auf ä^» 

 welche also durch die von B ausgehenden Tangenten an A„ harmonisch 

 getrennt werden. Daraus f Igt, dass die von a verschiedene Tangeute 

 durch B an ä^, die Gerade a^ im Mittelpunkte E der Strecke B^ L^ 

 schneidet. 



Durch B gebt ein Geradenpa^r uv des Kegelschnittbüschels 

 [Ä:„AJ, welches die Fusspunkte der von Q an Ä-^, gehenden Normalen 

 enthält, und da beide Kegelschnitte Ä'^i K gleichseitige Hyperbeln 

 sind, so ist u _L v. 



Der Büschel [^'^ /'„] schneidet a^ in einer Punktinvolution, der 

 auch die Schnittpunkte U, V mit ti und v als Elementenpaar angehören. 

 Bezeichnen wir mit 2Í, % die Schnittpunkte von k^ mit Oi , und mit 

 Är^ den unendlich fernen Punkt von a, , so gehören also die Punkte- 

 paare SiSlj . EA^ . UV einer Involution an. Desgleichen sind ihre 

 Verbindungsstrahlen íí^ . ea . uv mit J5 drei Paare einer Involution, wobei 

 w, V das Rechtwinkelpaar derselben bilden. Diese Involution ist durch 

 die Paare ft^ . ea festgelegt; es kann somit das Rechtwinkelpaar ud 

 derselben bekanutermassen konstruiert werden. 



Die Punkte 2Í, 3(, erhält man, wie bekannt, als Schnitte von a^ 

 mit dem Kreise vom Mittelpunkte B^, der durch die Scheitel A, A^^ 

 von Äq geht. Nun schneiden wir die Involution í!í, . ea mit dem 

 Kreise c, welcher BB^ zum Durchmesser hat, in der Involution 

 TT^. CB. Der Mittelpunkt H dieser Involution ist der Schnitt von TT-^ 



