Quadratischen Lösunge des Normnleiiprobleins von Kegelschnitten. 9 



und hat entweder .1 zum Mittelpunkte und die Scheiteltangente «^ 

 in >lj zur Axe oder umgekehrt. Benützt man die erste Zusammen- 

 stellung, so hat man durch den Punkt w,, «j die Parallele zu AB^^ zu 

 ziehen und dieselbe mit c in 1 und 2 zu schneiden; alsdann treffen 

 die Strahlen AI, A2 die Gerade «„ in ihren Schnittpunkten N^\ , N^^ 

 mit k^y Die Parallelen zu h durch diese Punkte treffen die durch B 

 gehende Gerade «, die u^^ auf a schneidet in den Fusspunkten der 

 zwei von den gesuchten Normalen. Dabei werden wir mithilfe der 

 ersten oder zweiten Kollineation den an näherliegenden Punkt iV*^, 

 also auch den entsprechenden Punkt N sicherstellen können; der 

 zweite Punkt N wird dann aufgrund der Eigenschaft, dass iV^i , N^ 

 und die Asymptoten von Ic auf ti gleich lange Strecken begrenzen, 

 ohneweiters erhalten. 



8. Wir leiten aus Früherem eine andere Lösung des Normalen- 

 problems für Punkte P von p her, Stellen wir uns — Fig. 9. — 

 wieder den Kegelschnittbüschel [kh] vor. Wir bestimmen die Involution, 

 welche [kh] auf a^ beschreibt. Zu dem Zwecke tragen wir auf b die 

 Strecke OZ=zP^O auf und beschreiben über BZ als Durchmesser 

 den Kreis/, welcher û^ in den Punkten 5Í, 2Í, von k schneidet; denn 

 die Tangente J53Í und die Normale in 9Í an k sind zwei normal- 

 konjugierte Strahlen inbezug auf Ä;, weshalb die letztere durch Z geht. 



Schneidet b die Gerade a, in L, so ist der Mittelpunkt der 

 Strecke B^L der Punkt E von h. Die Geraden u, v bilden nach 

 Früherem ein Elementenpaar der Strahleninvolution, welche durch 

 die von B nach 5(3ii , EA^^ ausgehenden Strahlen laare festgelegt 

 ist. Wir übertragen dieselbe durch Schnittbildung auf / und erhalten 

 eine Involution, welche E zum Mittelpunkt hat. 



Früher haben wir gesehen, dass die Reihe der Punkte P aufp 

 perspektiv ähnlich liegt mit der Reihe der Mittelpunkte M auf a; 

 folglich ist jene auch perspektiv ähnlich mit der Reihe der Punkte 

 E auf Qi ; das Perspektivcentrum beider ist der Punkt Z. Denn wenn 



P nach ^ kommt für P^^l^ =i OP^^ =: — - ZP^ , so wird für den 

 Mittelpunkt 9Jř der zugehörigen Apollonischen Hyperbel B^Jt:=P^B 

 =:.B^Z, also, wenn dabei E nach (S gelangt, wird 5^(5:= .B-^Z\ 



folglich geht ^(g durch Z. 



Der Kegelschnittbüschel \kli\ schneidet auch die unendlich weite 

 Gerade der Ebene in einer Involution, welche von B aus durch eine 

 Strahleuinvolution projiciert wird, der auch u, v als Paar angehören. 



