Quadratische Lösungen des Normalenproblems von Kegelschnilten. \{ 



Ist A' der Mittelpunkt dieses Kreises und ^=a.^ř, so ist 

 SX=zBY. 



9. Betrachten wir noch — Fig. 10. — die Involution, welche 

 [kh] auf h einschneidet. Der unendlich weite Punkt 93^0 von b und der 

 Punkt ß=aii sind Doppelpunkte dieser Involution. Verbindet mánií? 

 mit R durch die Gerade r, so ist (uvbr) = — 1. Schneidet man 

 diesen Strahlenwarf mit a in U^, "^^^.^ 0, R, so ist auch (U^l\pR) 

 = — 1. Daraus folgt, dass sich die Kreise k^^, tv, von denen der erste 

 AAy , der zweite ?/, F, zum Durchmesser und der zweite W zum 

 Mittelpunkt hat, auf b in B^, B^'^ schneiden, dass h die Polare von R 

 inbezug auf iv ist und B^W ±_RB^,. 



Das gibt eine neue Konstruktion der Geraden u, v, welche jedoch 

 nicht einfacher ist als die vorangehenden Konstruktionen. 



Ist aber Je eine gleichseitige Hyperbel, so vereinfacht sich diese 

 Konstruktion dahin, dass man nur von P die Senkrechte auf a^ zu 

 lallen und dieselbe mit dem Kreise, welcher den Fusspunkt dieser 

 Senkrechten zum Mittelpunkt hat und durch B geht, zum Schnitte 

 zu bringen hat. Die Schnittpunkte gehören bereits den Geraden 

 IÍ, V an. 



10. Bei einer gleichseifigen Hyperbel k kann man die Konstruktion 

 des Normalenproblems für einen Punkt Q der Geraden g, welche von 

 die Entfernung 2a in einem oder dem anderen Sinne besitzt, auch 

 auf folgendem Weg durchführen. — Fig. 11, 



„Man trägt auf q die Strecke Q-^O = QQ.^ auf und bringt OO 

 mit dem Scheitelkreise c zum Schnitte. Die Verbindungsgeraden der 

 erhaltenen Schnittpunkte mit B sind bereits die Geraden it, v." 



„Um die Normalen, die von Q zu den Schnittpunkten N^ , V, 

 einer dieser Geraden, sagen wir u ausstrahlen, zu erhalten, fällt man 

 von das Lot auf le und um den Fusspunkt J desselben als Mittel- 

 punkt beschreibt man einen durch gehenden Kreis, welcher a in « 

 b in ß und OJ in K schneiden möge. Weiter beschreibe man einen 

 Kreis über KQ als Durchmesser und schneide ihn mit der Geraden aß 

 in 9Î, , dl.2- Dann sind die Geraden n^ = Qil^ , n.-, =: Q)Jîo bereits zwei 

 von den gesuchten Normalen, welche u in ihren Fusspunkten A\ , N.^ 

 auf k treffen." 



Die Konstruktion von u und v ist da aus Früherem (Fig. 7) her- 

 übergenommen. Was aber die Konstruktion von n^ und n., anbelangt, 

 so ergibt sie sich aus der nachstehenden Betrachtung. 



Die durch die Asymptoten begrenzten Tangenten von k in AT^ 

 und N^ werden durch diese Punkte halbiert. Nun hüllen alle Geraden, 



