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Lieber daí einer Fläche 2. Grades umschriebene Viereck. 



der andere 35 auf dem Kegelschnitte v. Die Gerade 1133 trifft m 

 im Punkte il/^ , 3íL^ im Punkte L^; diese Punkte M^, L(^ sind 

 durcli U, 35 harmouiscli getrennt. Legen wir nach diesen Punkten 

 Ebenen durch LM, so folgt: 



Die Tiegelsclidaren der Transversalen von l, m berühren die 

 Fläche F in zivei Kegelschnitten u, v, deren Ebenen die ihre Schnitt- 

 gerade mit l, m verbindenden Ebenen harmonisch trennt. 



Daraus folgt weiter : 



In einem einer Fläche 2. Grades umschriebenen ivindschiefen 

 VierecTi, dessen Beruh rungsjmnkte mit der Fläche nicht in einer Ebene 

 liegen^ trennen die Eckpunkte einer Seife deren Berührungspunkt har- 

 monisch von jenem Funkte, in welchem die Ebene der drei übrigen 

 Berührungspunkte diese Seite schneidet. 



Beide Sätze hat Mannheim a. a. 0. auch ausgesprochen. 



Es seien ř7, V die Scheitel von Kegelflächen, welche F längs u 

 resp. V berühren; sie liegen auf der Geraden Qi Q^. Da die erste 

 Kegelfläche auch R längs u berührt, so ist die Ebene von u die 

 Polarebene des Punktes U in Bezug auf R und es sind somit 

 der Punkt U und der Schnittpunkt Z7, der erwähnten Polarebene 

 mit QiQu harmonisch von einander durch die Punkte Qa, Qu getrennt. 

 Daraus folgt, dass die Ebene LMU den Kegelschnitt v enthält. Ana- 

 loges gilt bezüglich V. Wir haben somit das Ergebnis: 



Die Ebenen der Kegelschnitte u, v sind in Bezug auf alle drei 

 Flächen F, R, S zu einander conjugiert. 



3. Ist F eine Kugelfläche, dann sind u^ v zwei sich orthogonal 

 schneidende Kreise, R, S sind zwei Rotationshyperboloide; deshalb 

 schneiden alle Geraden der Regeischaaren R, S die Kreise w, v unter 

 gleichen Winkeln. 



Ist ABCD ein aus vier Geraden eines Rotationshyperboloids 

 gebildetes Viereck, das die Gerade o zur Achse hat, und denken wir 

 uns weiter die anstossenden Seiten zu zwei Paaren geordnet, von den 

 Ecken A, C ausgehend in AB^ AD\ CB, CD und legen etwa durch 

 die Ecke B die Normalebene zur Achse o, welche die Gerade AD 

 in B^ die Gerade CD in B.^ schneidet, so sind die Strecken DB^^^ 

 DB^ einander gleich. Daraus folgt, dass in einem windschiefen Vier- 

 eck, das auf einem Rotationshyperboloide liegt, die Differenz resp. 

 die Summe zweier anstossenden Seiten gleich ist. der Differenz, resp. 

 der Summe der zwei übrigen Seiten, je nachdem die Ebene Ao den 

 inneren oder den äusseren Winkel des Vierecks bei A halbiert. 

 Projizieren wir orthogonal auf eine zu o senkrechte Ebene, so ersehen 



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