4 XXXIV. J. Sobotka: 



wir (lie Riciitigkeit des bekannten Satzes über das Tangentenviereck 

 eines Kreises für jede Gestalt desselben. 



Dadurch ist die Construction einer Kugel, welche einem ge- 

 gebenen windschiefen Viereck ÂBCD eingeschrieben ist, in der ein- 

 fachsten Weise abgeleitet. 



Ist \AB - AI)\ - \CB — CD\, resp. \ÂB^AD\ — \CB -f- CD\, 

 so ist das Viereck ein solches 1. Art. Wir halbieren die Winkel bei 

 A und C und zwar im ersten Falle die Innenwinkel, ira zweiten Falle 

 die . Aussenwinkel des gegebenen Vierecks und legen durch jede 

 Halbierungslinie die Normalebene zur Ebene des Winkels, welche wir, 

 wie üblich, die Symmetiieebene des Winkels nennen. Die so erhaltenen 

 zwei Ebenen schneiden sich in der Achse o des Rotationshyperboloides, 

 welches durch das Viereck ABCD gelegt wurde. Die Achse o ist 

 gleichzeitig ein Durchmesser der gesuchten Kugel. Jede Ebene, 

 welche normal zu o gelegt wird, schneidet somit das Viereck in vier 

 Punkten eines Kreises. Die Kugel, welche das ßotationshyperboloid 

 längs dieses Kreises berülirt, entspricht unserer Aufgabe; es ist also 

 jeder Punkt auf o von den Seiten des Vierecks gleich weit entfernt 

 und kann als Mittelpunkt einer dem Vierecke eingeschriebenen 

 Kugel aufgefasst werden. Schliesslich sehen wir, dass sich die vier 

 Symmetrieel)enen der Winkel eines einer Kugel umgeschriebenen 

 Vierecks 1. Art in einem Durchmesser der Kugel schneiden. 



4. Ein einer Kugel umgeschriebenes Viereck 2. Art kann be- 

 liebig gewählt werden. Wir wollen hier noch zeigen, wie man für ein 

 solches Viereck ABCD die ihm eingeschriebenen Kugeln con- 

 struiereii kann. 



Die Symmetrieebenen der aufeinander folgenden Seiten und ihrer 

 Verlängerungen in dem gegebenen Viereck schneiden sich achtmal zu 

 vieren in je einem Punkte, welcher Mittelpunkt einer Kugel ist, die 

 unserer Aufgabe Genüge leistet. Die Construction wird bedeutend ver- 

 einfacht und gewinnt an Interesse, wenn wir sie auf Constructionen 

 in einer Ebene reducieren. 



Zu dem Zwecke legen wir etwa die Ebene ABC um die Ge- 

 rade AC in die Ebene ABD um, wodurch B nach {B) gelangen 

 möge. Es sei K eine der gesuchten Kugeln, deren Berührungspunkte 

 mit den Geraden AB^ BC, AD, CD beziehungsweise durch Taß, Tßy^ 

 Tay , Ty,s bezeichnet worden mögen. Die Kugel K wird längs ihres 

 in der Ebene TußTßyT„,s liegenden Kreises von einem Rotations- 

 hyperboloid R berührt, welches die Geraden AB, BC, AD enthält 

 und die Ebene ACD ausser in AD noch in einer Geraden C'6\ 



