Ueber das einer Fläche 2. Grades umschriebene Viereck. 5 



sclmeidet. Dabei bezeichnen wir mit C\ den gemeinsamen Punkt der 

 Geraden il D, CCj. Die zur Ebene ^/JC normale Meridianebene von R 

 schneide diese Ebene in den Geraden ti, welche den Winkel der 

 Geraden AB, BC halbiert. Nun unterscheiden wir zwei Fälle, je 

 nachdem u den Winkel ABC^ oder seinen Nebenwinkel halbiert. Wir 

 betrachten zunächst den ersten Fall. Denken wir uns durch A die 

 Normalebene zur Achse des Rotationshyperboloides, so erkennen wir, 

 dass \AB — BC\=z\AC^ — CC\\. Daraus folgt, dass C\ auf der 

 Hyperbel h liegt, welche die Punkte A^ C zu Brennpunkten hat und 

 durch den Punkt {B) geht. Analog wird für den zweiten Fall, wenn 

 die Gerade u die Nebenwinkel von ABC halbiert AB -\- B C ^=^ AC ^ 

 -\- C\C, und Cj liegt auf der Ellipse e, welche zu h confokal ist und 

 gleichfalls durch (B) geht. 



Der Kreis m, in welchem die gesuchte Kugel K die Ebene ADC 

 schneidet, berührt also nicht nur AD und CD sondern auch die 

 Gerade CC^, welche ja auf dem der Kugel umschriebenen Hyper- 

 boloid R liegt. Legen wir ferner durch AB, BC, CD ein Rotations- 

 hyperboloid S, hier wieder disjenige, dessen zu ABC normale Meri- 

 dianebene auch Meridianebene für R ist und suchen wir zunachstd'e Ge- 

 rade A D^ , in welcher die Ebene ^7)Cdas Hyperboloid S ausser der Geraden 

 DC noch schneidet. Der Punkt D^ sei hier wieder der Schnitt von DC 

 mit AD^. Da R, S die erwähnte Meridianebene gemeinschaftlich 

 haben, so liegen die Punkte C, , D^ entweder beide auf dem Kegel- 

 schnitte h oder beide auf e, und der Kreis m ist dem Viereck AC^CD^^ 

 eingeschrieben, wodurch er mehr als hinreichend bestimmt ist. Be- 

 zeichnen wir mit M seinen Mittelpunkt, so sind MD, MC^, MD^ drei 

 Durchmesser von m. 



Weiter ist MC^ die Spur einer Meridianebene von R, MD^ die 

 Simr einer Meridianebene von S in der Ebene ACD, woraus folgt, 

 dass diese Geradi n den Kegelschnit h, resp. e in den Punkten 6j, D^ 

 berühren; dabei ist die Gerade MD eine Symmetrale der Geraden 

 AD, CD. Da die Geraden AB, CD den Kegelschnitt h, resp. e in 

 vier Punkten Cj, (Z, /),, D^ schneiden, so werden wir zu vier 

 Punkten M, nämlich M, M^, M.,, M^ geführt als den Mittelpunkten 

 von Kreisen, in welchen diejenigen vier von den gesuchten Kugeln 

 geschnitten werden, deren Mittelpunkte in der gemeinschaftlichen 

 Meridianebene der Flächen R, S liegen. 



Es bilden somit die Tangenten in den Punkten 6\, C, D^, D.^ 

 an diesen Kegelschnitt ein vollständiges Vierseit, dessen zwei Gegen- 

 eckenpaare von den Punkten M, 31^, M.^, J/, gebildet werden, während 



