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Zur Construction von Osculationsbyperboloiden an windschiefe Flächen. 3 



Kegel K ersetzen, dessen Spitze in O ist und welcher irgend einen 

 die Curve s in ^ osculierenden Kegelschnitt v zur Leitlinie hat. 



Handelt es sich um ein Berührungshyperboloid, so können wir 

 die Curve Sj durch ihre Tangente t^ in A^ ersetzen, handelt es sich 

 aber um das Osculationshyperboloid, so kann mann s^ durch einen 

 Kegelschnitt v, ersetzen, welcher s^ in A^ osculiert. Dadurch kann 

 also die Fläche P behufs Construction eines Berührungshyperboloides 

 F durch die Fläche P^ ersetzt werden, welche den Kegel 2. Ordnung 

 K, auf ihm den Kegelschnitt v und ausserdem die Gerade ř^ zu Leit- 

 gebilden hat, während für die Construction des Osculationshyper- 

 boloides H die Fläche P durch die Fläche Pg ersetzt werden kann, 

 welche gleichfalls K und v und ausserdem den Kegelschnitt Vj zu 

 Leitgebilden hat. 



Wie Herr Ed. Weyr in der Arbeit v. J. 1896 betont, ist nach 

 dem Dupin'schen Theorem die Gerade p in der Ebene aO^ welche 

 von a harmonisch getrennt ist durch AO und die Tangente í in A 

 an s bereits eine Gerade des Osculationshyperboloides H. 



4. Wenden wir uns zunächst der Construction eines Berührungs- 

 hyperholoides ¥ zu. 



Es heisse V die Ebene von v, L^ der Durchstosspunkt von t^ 

 und ?, die Schnittgerade der Ebene Oi^ mit V. Den Kegel K können 

 wir durch jeden anderen concentrischen Kegel K^ ersetzen, welcher 

 in V einen Kegelschnitt u zur Leitlinie hat, der v m A osculiert. 

 Nehmen wir also den Kegelschnitt u so an, dass er noch l^ in Z,, 

 berührt, wodurch er vollständig bestimmt ist. Alsdann wird die 

 Fläche Pj nach dem Eingangs herangezogenen Satze (I) selbst ein 

 Berührungshyperboloid F ; denn die Geraden, welche iř^ und p schneiden 

 und den Kegel K^ berühi eu, bilden ein Hyperboloid L; dieses berührt 

 Kj in dem Kegelschnitt u\ denn der Berührungskegelschnitt von L 

 mit Kj geht durch L^ und A und seine Tangente in A ist von OA 

 durch die Erzeugenden a, p des Hyperboloides harmonisch getrennt, 

 fällt also mit t zusammen. Folglich ist P^^ ^ L. 



Leiten wir aus dem so erhaltenen Hyperboloid P^ ein anderes 

 F durch eine centrische Collineation für A als Collineationscentrum 

 ab. Schneidet AL^ den Kegelschnitt v im Punkte L, ist l die Tangente 

 in diesem Punkte an v und schliesslich d die Verbindungsgeradevon 

 A mit dem Punkte Í . i, , so nehmen wir weiter die Ebene ad als 

 Collineationsebeue an. Offenbar wird F auch ein Berühruugshyperbo- 

 loid sein. Denn jede Ebene E durch a ist Berührungsebene von P^ 

 und schneidet P^ noch in einer Geraden e, und der Punkt E=za.e 



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