4 XXXV. J. Sobotka: 



ist ihr Berührungspunkt. Durch die Collineation entspricht E sich 

 selbst und der Geraden e entspricht die Gerade e^, deren Schnitt 

 mit a Berührungspunkt von E mit F ist. I 



Dieser Schnitt ist aber der Punkt E, weil ja dieser als in der 

 KoUineationsebene liegend beiden Geraden e, e^ gemeinschaftlich ist. 

 Durch dise Kollineation geht der Kegel K^ in K^ über; die Spitze 

 Oq von Kq kann ohneweiterá ermittelt werden. Die an Kj gelegten 

 Berührungsebenen at, Ot^ schneiden sich in der Geraden OA^^ welche 

 auch V in dem Punkte t .1^ trifft. Der Geraden OA^ entspricht also 

 in der Kollineation die Verbindungsgerade des Punktes A^ mit dem 

 Punkte t . l\ diese Gerade trifft somit h = OA im Punkte 0^. 



5. Daraus folgt eine Konstruktion der Berührung-^ebenen von P 

 in Punkten auf a und umgekehrt von Berührungspunkten mit P der 

 Ebenen durch a. 



Der Bequemlichkeit halber projizieren wir in die Ebene V. Wir 

 ermitteln die Berührungsebene in A-^^ welche durch a und die Tan- 

 gente in A^ au s-^ bestimmt ist; es sei AL^ ihre Spur, welche v noch 

 in L schneidet. Wir errichten weiter in L die Tangente an v und 

 bringen si mit t in A^ zum Schnitt; alsdann legt die Gerade Ar A^ 

 auf h den Punkt 0^ fest. Soll nun im Punkte X auf a die Tangential- 

 ebene X konstruiert werden, so bringen wir XO^ mit t in X^ zum 

 Schnitte und legen von X^ die zweite Tangente an v. Die Verbindungs- 

 gerade ihres Berührungspunktes mit dem Punkte A ist die Spur x^ 

 der gesuchten Ebene. Ist aber die Berührungsebeue gegeben und wir 

 sollen den Berührungspunkt ermitteln, so gehen wir von ihrer Spur 

 Xq aus und führen die erläuterte Construction in umgekehrter Pteihen- 

 folge durch. 



Ist K der Krümmungsmittelpunkt von s für den Punkt A^ so 

 können wir ihn statt v bequem benützen. Wir bestimmen AL.^ und 

 fällen auf diese Gerade von K die Senkrechte, welche t in A-^ trifft, 

 worauf A-r A-^ mit h in 0^ zum Schnitt gebracht wird. Ist nun Xauf 

 a gegeben, dann schneiden wir wieder XO^ mit t in Xr ; alsdann ist 

 Xq _L KXr ; umgekehrt wenn x^ die Spur der Tangentialebene ist, so 

 trifft die Senkrechte von K auf sie t in X^ und X,C)^ trifft die Er- 

 zeugende a im Berührungspunkte A^ 



Wollen wir nun ein beliebiges Berührungshyperbolid F konstruiren, 

 so können wir für dasselbe eine beliebige zu a windschiefe Gerade g 

 als auf ihm liegend annehmen. 



Trifft die Ebene X die Gemde g im Punkte G, so ist XG eine 

 Erzeugende von F. 



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