Zur Construction von Osculationahyperboloiden an windschiefe Flächen. 5 



6. Auch die Konstruktion des Oskulationshyperboloides H gestaltet 

 sich sehr einfach. 



1. Die Eriiiittelung der durch A gehenden Erzeugenden p ist 

 bereits angegeben worden. 



2. Wir konstruiren nun die durch A^^ gehende Erzeugende q 

 desselben, was wir hier auf zwei Arten durchführen wollen. 



Es sei r die Schnittgerade der Ebene V mit der Ebene Vj von 

 Wj und P der Schnittpunkt von p mit V;^. Alle Kegelschnitte, welche 

 durch P gehen und v^ in A^ osculieren, bilden einen Büschel (1), 

 welcher auf r eine Involution einschneidet und alle Kegelschnitte, 

 welche v in A osculieren und auf r dieselbe Involution einschneiden 

 wie (1), bilden gleichfalls einen Büchsel (2), gehen somit durch einen 

 festen Punkt Q. Dieser Punkt ist der Schnittpunkt von q mit V. Ver- 

 binden wir A mit dem Punkte auf r der mit t .r ein Elementenpaar 

 in der Involution auf r bildet durch eine Gerade, so enthält diese 

 Gerade auch den Punkt Q; derselbe wird also im Schnitte dieser Ge- 

 raden mit demjenigen Kegelschnitt in (2) liegen, welcher durch den 

 Punkt t.r und somit auch durch den Punkt A^P.r geht. -j 



Alle Hyperboloide, welche sich längs a berühren und durch p 

 und q gehen, bilden einen Büschel und schneiden somit V in einem 

 Büschel von Kegelschnitten, die sich in A osculieren und welche alle 

 den Schnittpunkt von q mit V enthalten. Folglich ist umgekehrt 

 q^QA,. 



Da wir die Berührungsebene der Regelfläche in jedem Punkte 

 auf a zu ermitteln in der Lage sind, so können wir die Gerade q 

 auch in sehr einfacher Weise mit Hilfe von v konstruiren, wie ich 

 a. a. 0. gezeigt habe,^) worauf hier nur verwiesen werden möge. 



3. Hat man p bestimmt, so verbinde man mit ^^ ; die Ver- 

 bindungsgerade trifft p im Punkte Q^ und es gehört die Gerade 

 h= QQ^ dem Osculationshyperboloid H auch an; denn um H zu kon- 

 struieren, kann man jetzt den Kegelschnitt v durch den ihn in A oscu- 

 lierenden Kegelschnitt u ersetzen, welcher den Schnitt q^ der Ebene 

 Oq mit V im Punkte Q berührt. Alsdann wird die Leitschaar von H 

 durch diejenigen Transversalen der Geraden p, q erzeugt, welche den 

 Kegel K-^, der zum Mittelpunkte hat und sich auf u stützt, be- 

 rühren. Die Polarebene von inbezug auf H ist die Ebene V, da 

 diese wegen (p aht) := — 1 durch t geht und den Berührungspukt 



'^) Cf. Die citierte Abhandlung vom J. 189ä S. 4. 

 3) Ebenda S. 2. 



