Zur Construction von Oscnlationsliyperboloideu an windschiefe Flächen. 9 



sind. Durch diese Kollineation werden offenbar die Flächen F,, Fo in 

 einander übergeführt. Erstens ist ja klar, dass diu Kollineationsebene 

 beide Flächen in zwei zusammenfallenden Kegelschnitten u schneidet. 

 Denn beide Kegelschnitte müssen sich in Äi osculiereu und durch 

 7^12 und il/jo gehen, können somit nicht verschieden sein. Legen wir 

 die räumliche Kollineation so fest, dass wir dem Punkte P, , in 

 welchem die Gerade L . M die Fläche F^ ausser in A^ noch schneidet 

 und der ein gemeinschaftlicher Punkt von l^ mit m^ ist, den auf Jj^l\ 

 liegenden von A^ verschiedenen Punkt P.^ von F.,, welcher den Kegel- 

 schnitten L, m^ gemeinsam ist zuweisen, dann liegt der zu jedem an- 

 deren Punkte Qj auf F, kolliiiear entsprechende Q^ auf Fo. Denn die 

 Ebene A^l\Qy ist sich selbst entsprechend; sie schneidet Fi in 

 einem Kegelschnitte Jc^, der u noch im Punkte i/trift't; der kollinear 

 entsprechende Kegelschnitt k^ osculiert den Kegelschnitt k^ in A^ 

 geht durch den in der Kollineationsebene liegenden Punkt U und 

 durch P.y, hat also mit Fo fünf Punkte gemeinsam, von denen drei 

 in A^ benachbart sind ; er liegt somit auf F2 ; darum ist Q^ auch ein 

 Punkt von Fo. Wir haben somit den Satz: 



Zwei Flächen 2. Grades, die sich in einem PunJde oscidieren, 

 sind centrisch collinear für den Punlit als Centrum und eine durch 

 ihn gehende Ebene als Ebene der Kollitieation] sie schneiden sich in 

 einem Kegelschnitte u der in der Kollineationsebene liegt und haben 

 ausserdem die Indikatrix des Kollineationscentrums gemeinsam.^'' 



Die Schnittgerade a* der Kollineationsebene mit der gemeinsamen 

 Berührungsebene in A^ an F^, F., ist KoUineationsaxe für das Kegel- 

 schnittpaar, in welchem diese Flächen von jeder durch a* gehenden 

 Ebene geschnitten werden. Die Kegelschnitte eines solchen Paares 

 haben also in A^ vier benachbarte Punkte gemein. 



Auf gleiche Weise wie H^ erhält man die Regelschaar eines 

 windschiefen Hyperboloides Ho, weun wir F, durch eine andere Schmie- 

 gungsfläche 2. Ordnung Fo ersetzen. Es mögen die durch J^, Aj^ ge- 

 henden Geraden der Regelschaar auf Hj mit b^, resp. c^ und ihre 

 Berührungspunkte mit F^ durch B^, resp. C^ bezeichnet werden, wobei 

 «&j die Berührungsebene von H, also auch von P in ^0, ac^ die in 

 A ist. Führen wir durch A^ in ab^ irgend eine Gerade 60 und durch 

 A in atîj irgend eine Gerade c^, so können wir nun F^ durch eine 

 Fläche Fo ersetzen, die sich S^ in A^ anschmiegt und die Geraden 

 Do, Co berührt. Um das einzusehen, überführen wir den Kegelschnitt Ij^ 

 von Fl in der Ebene ab^ durch centrische Kollineation, welche Ay 

 zum Centrum und a zur Axe hat, in einen Kegelschnitt hi der b^ 



