4 XXXVUI. M. Lerch: 



Das erste Integral rechts hat ein von m unabhängiges Zeichen 

 (- 1)*; wäre nun für alle hinreichend grossen k und m das zweite 

 Glied rechter Hand absolut kleiner wie das erste, so wäre das 



Zeichen der Summen 



p—i p—i 



2i-<p<2»i 2i;+2<p<2»i 



beziehungsweise (— 1)^ und (— 1)*+S und dies erfordert, dass ent- 

 weder 2k -\- i eine Primzahl sei, oder dass die beiden Summen gleich 

 Null seien. Nun lässt sich in unendlich vielen Fällen konstatieren, 

 dass weder das eine noch das andere zutrifft, und die Annahme ist 

 somit falsch, d. h. es wird unendlich oft vorkommen, dass das zweite 

 Integral rechts in (3) das erste dem absoluten Betrage nach übertrifft. 



Die mit unendlich wachsendem t unendlich klein werdende 

 Funktion % (0 hat daher eine solche Eigentümlichkeit, dass sich 

 aus der Formel (3) in Bezug auf das Verhalten der linken Seite für 

 sehr grosse k und m kein unmittelbarer Schluss ziehen lässt. 



2. Bei der eben bemerkten Beschaffenheit unserer Ausdrücke 

 wird z. B. die Gleichung 



(4) V ^'' ^^" vy = — y lim (p {t) cos yt du 



I =:1 m = 00 I 







uns nur ausnahmsweise über das Verhalten der linken Seite für 

 unendlich kleine y Aufschluss geben können. Dies wird allerdings 

 immer dann gelingen, wenn wir für die Funktion cp (t) eine analytisch- 

 asymptotische Darstellung i> (t) derart besitzen, dass die Ergänzungs- 

 funktion (p(t) — ip (t) z=i X (i) ein konvergentes Integral 



00 



f \%{t) \dt 



liefert, oder eine anderweitige Beschaffenheit aufweist, nach welcher 

 sich die Konvergenz der Integrale 



00 



xit)l\r*dt 



erschliessen lässt. 



