9( XX. Frauz Rogel: 



uiul liieiaus 



(XIX.)... p^ = ^' 



I R - 2c. 



Die Eiuzelmittelkraft R (deren Wirkungsliuie Chasles Centralaxe 

 uenut) ist nach 5/ die Mittelkraft der durch d-^, d^_ parallel zu c 

 geheudeu Öeitenkräfte P^ — P cos «, Q^—Q cos ß von P, Q und 

 schneidet d^d^ in einem Punkte i, der die Strecke d^d^ im umge- 

 kehrten Verhältnis der Kräfte P cos a und Q cos /3 teilt. 



Da die Schwerstrecke c_\_d^d^, so ist auch R_]_d^d^. 



Conjugierte Kräftepaare sind somit gleichivertig, wenn 



«) die über die Stäbe als Gegenkanten verzeichneten Tetraeder 

 inhaltsgleich sind (Chasles und Möbius) ; 



ß) ihre Schwerstrecken in Grösse und Richtung übereinstimmen ; 



y) alle Punkte, welche die Strecken der kürzesten Entfernungen 

 im umgekehrten Verhältnis der rechtwinkligen Projectionen 

 der beiden Kräfte auf die Richtung ihrer (parallelen) Schwer- 

 strecken teilen, in einer Geraden (R) \ \ c liegen. 



Der Vorgang bei der Construction des dem Kräftepaar P, Q 

 äquivalenten Winders (P, M) wäre etwa folgender. Bestimmung der 

 Schwerstrecke c und der Schnittpunkte p, q von P, Q mit einer zu 

 c _L Ebene ; Ermittlung der Projectionen P^, Qq\\c und der P'" =: — (3'" 

 auf diese Ebene E\ Teilung von p, q durch einen Punkt * im um- 

 gekehrten Verhältnis ersterer Projectionen Pq, Q^. Es geht dann 

 durch i und 11c die Wirkungslinie von Pzr2c und das Drehpaar- 

 Moment ist = P'"Ä =: Q''h. 



Da dies für jede Ebene E J_c ausgeführt werden kann, so folgt, 

 dass R sämmtliche Strecken pq schneidet u. zw. in Punkten r von 

 obiger Beschaffenheit. Die Linien pq sind daher die erzeugende 

 Schaar eines hyperbolischen Paraboloids und P, Q sind die Leit- 

 strahlen des anderen Systèmes. 



Nun kann die Aufgabe gelöst werden: 



Ein System von Kräften im Räume ist zu ersetzen durch ein 

 äquivalentes Kräftepaar P, Q, wenn P gegeben ist (nicht parallel 

 zu c); Grösse und Lage von Q ist zu bestimmen. Nach Ermittlung 

 der Schwerstrecke c des Systèmes lege man etwa durch das Ende 

 p von P eine zu c senkrechte Ebene E^ und nehme sie als Kreuz- 



