über à. gem. Punkte u. Tangenten v. Kegelschnitten, d. eine Leitlinie gemein haben. 15 



Es ist nun wieder behufs Ermittlung von s, , s,^ der Satz (O) 

 anzuwenden, indem man den Büschel 39 durch l^ und durch eine 

 durch r—.f^ . Zj gehende Gerade p _\_f schneidet, wodurch auf l^ 

 eine Involution mit den Doppelpunkten z/^, ^2 und auf ^ eine solche 

 mit dem Centralpunkt F hervorgeht, und schliesslich letztere auf l^ 

 orthogonal projiziert. Die Doppelpunkte der so auf l^ durch z/^ , z/gj 

 r^ 00 festgelegten Involution sind S^, S.^, durch die s^ bezw, s^ _L Y 

 zu ziehen und mit C{r) zum Schnitt zu bringen sind. 



Liegt r innerhalb z/^ , z/.,, so sind reelle Schnittpunkte nicht 

 vorhanden. 



Bezüglich der Kontingenzpunkte besteht der Satz : 

 XV. Der Kreis C{r) trifft Y in Kontingenspunkteti, Ky , Ä'« , in 

 ivelchen sich auch die Kreise ^ berühren. 



Denn infolge der Symmetrie schneiden sich gemeinsame Tan- 

 genten teils in Punkten K^ , K.^ von Y, teils in bezüglich Y symme- 

 trischen Punkten. 



Ist ij eine gemeinsame Tangente, N^ zz: t^ . l^^ N^ z:z t^ .1^, und sind 

 Qi, Q[ die Schnitte von t^ mit C(r), so liegen zufolge (111) F^, F.,, 

 N^ , Qj auf einem Kreise ^j und G^, G„, N[ , Q\ auf einem Kreise 

 ^0 i^ ^1 , wobei ^j und ^., bezüglich Y symmetrisch sind. Desglei- 

 chen müssen auch Q^ , Q\ , die auch (7(r) angehören, symmetrisch 

 sein, was nur möglich ist, wenn sie sich decken, d. h., wenn sich 

 ^1 , ^.^ in K, = f^. Y berühren. 



Sind noch zwei weitere gemeinsame Tangenten ^3, t^ vorhanden, 

 so schneiden sie sich im anderen Schnittpunkte JC von C{r) mit Y. 

 Hieraus folgt eine einfache Tangeuten-Konstruktion: 

 Man lege durch Fy , F„, K^ den Kreis ^j , der l^ in einem 

 Punkte iVj von t^ triffst. 



In Abb. 10 — zwei Ellipsen — liegt F ausserhalb z/, z/., , daher 

 sind 4 Schnittpunkte M ^ , M^, M^^ M^ und 4 geraeinsame Tangenten 

 ^15 "^2 » ^8 1 ^i vorhanden. 



Von Fz=zj\.l^ wird die Tangente TT" an den Halbkreis über 

 z/^z/^ geschlagen und FS^ =:: FS^ == FT gemacht. 



c) Die Haiiptaxen fallen in eine Gerade X und die JVeben- 

 axen in eine Gerade Y. 



Es liegen konzentrische C'entralkegelschnitte vor. 

 Je 2 Leitlinien koinzidieren in ly , h, desgleichen /^ , f^ mit X 

 und C, C mit O^, O^ in 0; ferner ist e-^ : s^ =: a^ : a^. 



