Über die Kurve vierter Ordnung mit einer Spitze 2. Art. 3 



x x x 3 -fr 2 ß (mx x x 2 — nxl) — e 2 x 2 (x x -f- 4 mnx 3 ) = 



mit dem variablen Parameter s. Wählt man für 



s = 2 m , 



so zerfällt die Gleichung des zugehörigen Kegelschnittes in die beiden 

 linearen Gleichungen : 



x a = 0, x x — 4 mnx 3 — 16 m 3 nx 2 = . . . .6), 



und da ein Teil (x 3 = 0) dieses zerfallenen Kegelschnittes mit &\ 

 zwei mal zwei gemeinsame Punkte hat, so ist der andere Teil 6) die 

 Doppeltangente (d), welche der Kurve c\ notwendig zukommt. 

 Man kann die Gleichung der Doppeltangente auch in der Form 

 schreiben : 



(x x -j- 4 mnx 3 ) — 8 mn (2 m 2 x 2 -\~ x s ) = . . . . 6'), 



und es ist aus dieser Form ersichtlich, daß d durch den Schnittpunkt 

 (D) der Geraden 3) und 5) hindurchgeht. Es folgt daraus, daß die 

 Verbindungslinie A D (des Wendeknoteupunktes (^4) mit dem Schnitt- 

 punkte D der Doppeltangente (d) und der von der Spitze (B) an c' 4 

 noch kommenden Tangente) der zur Verbindungslinie A B = x 3 =0 

 konjugierte vierte harmonische Strahl ist zu den beiden Tan- 

 genten des Wendeknotenpunktes (A). 



Die Doppeltangente d trifft die Spitzentangente t in einem 

 Punkte D', welcher aus A durch die Gerade (mit Rücksicht auf 

 Gl. 6) 



AD' eee x 3 -f- 4 m'% = 



projiziert wird. Die vier Strahlen, deren Gleichungen sind : 



x 2 = , 2m% -|- x 3 = . . . . (5) 

 x 3 = , 4 m 2 x 2 4- x 3 = 



bilden eine harmonische Gruppe, und es sind die oberen zwei 

 sowie die unteren je ein konjugiertes Paar. 



2. Projiziert man die beiden Berührungspunkte D x , D 2 der 

 Doppeltangente aus der Spitze B, so erhält man für beide Projek- 

 tionsstrahlen die Gleichung: 



BD L , BD 2 = [x x (x, — 4 mnx s ) -f 16 m 2 n 2 x;] 2 



-f- 16 mn (x x — 4 mnx 3 ) x\x 3 == , 



deren linke Seite ein vollständiges Quadrat sein muß, also: 



BD X . BD 2 = x x (x x + 4 mnx 9 ) — 16 m 2 n 2 x; = . 



1* 



