4 VIL Dr. Georg Majceii : 



Man kann diese quadratische Gleichung in lineare Gleichungen 

 zerlegen wenn man sie in der Form schreibt: 



(ccj -J- 2 mnx 3 ) 2 — 20 m 2 n 2 x\ = 0, 

 also: 



BD, , BD 2 = x x + 2 mn (1 ± Vö) x 3 =0 . . . . 7). 



Diese beiden Geraden bilden mit dem Strahlenpaar x 1 ^=0, 

 x s = ein üoppelverhältuis, dessen Wert für beide letztere 

 Strahlen als Grundstrahlen ist: 



i — Vö 



also ein für alle Kurven vom Typus c\ absolut konstanter Wert. 

 Der inversen Kurve c 4 kommt kein invarianter Wert des 

 gleich gebildeten Doppelverhältnisses zu. 



Projizieren wir wieder die beiden Berührungspunkte D 1} D 2 der 

 Doppeltangente aus dem Wendeknotenpunkt A } so erhalten wir nach 

 Elimination der Koordinate & ± aus den Gleichungen 1) und 6) : 



[mx 2 (4mwsc 3 4- 16 m s nx 2 ) -4- nx\\ 2 4- x 2 x z (4 mnx. } -j- 16 m 3 wic 2 ) 2 — 



also 



m 2 x 2 (m 2 x. 2 J r x 3 ){4x 3 -\-l6m 2 x 2 ) 2 -\-2m 2 x.,xl (4x 3 -f- 16m 2 # 2 ) -f-«* =0 



oder 



256 m*x\ -j- 384 m^iCg 4- 176 m*x\x\ -J- 24 m 2 ^* -{-&*=(). 



Die linke Seite dieser Gleichung ist in der Tat ein vollständiges 

 Quadrat von 



16 m*x\ -\- 12 m 2 x. 2 x 3 -f- x\. 



und die Gleichung beider Geraden AD 1} AD 2 ist daher : 

 16 m?x\ 4- 12 m 2 # 2 a; 3 -f- îç* = . 

 Man erhält daraus die beiden Gleichungen : 



AD, = 2 m 2 (3 -f Vö ) x 2 -\-x 3 ~0 

 A D 2 = 2 m 2 (3 — Vö ) a; 2 + £ 3 = 0. 



Man sieht also, daß die Verbindungslinie (x :i == 0) beider sin- 

 gulären Punkte, die Wendetangente des Wendeknotens (# 2 = 0) und 

 die beiden Strahlen AD,, AD 2 ein Doppelverhältnis bilden; 

 dessen Wert für beide erstgenannte Strahlen als Grundstrahlen sein 

 wird: 



