Über die Kurve vierter Ordnung mit einer Spitze 2. Art. 7 



Ein jeder Kegelschnitt des Systems (8) geht daher durch die beiden 

 singulären Punkte A und B und berührt noch die Kurve c\ an 

 zwei verschiedenen Stellen (M E , N e ). 



Wir wollen nun die Gleichung der Verbindugslinie beider 

 Berührungspunkte M £ und N s aufsuchen. 



Man kann die Gleichung (9) in der Form schreiben: 



(m — f) x\ — nx 3 [2m£#, — ê 2 x i — 4mns 2 x 3 ] — 2mnsx 1 x 3 = 0. 



Eliminiert man den Ausdruck in der eckigen Klammer aus 

 dieser Gleichung und aus (8'), so erhält man 



(m — s) x\x % — (2mx 3 — xj nx\ — 2mri£x i x 2 x 3 = 0. 



Eliminiert man aus dieser Gleichung und aus (1) den Wert 

 nx\, so bekommt man 



s 2 x]x 2 -f- 4n 2 £ 2 x\ — 4n£X 1 x 2 3 -\- x\x 3 — 

 oder 



ms 2 x\x z -J- x 3 (4mn 2 e 2 x 2 3 — 4mn£x 1 x s ) -f- mx\x s — 



also mit Rücksicht auf (9): 



ms 2 x x x 2 — (m — s) x x x 3 — m 2 x\ -\- mx x x 3 z= 



und daher 



mex x x 2 -\- x t x 3 — nex\ — 0, 



d. i. die Gleichung eines Kegelschnittes, welcher in der Spitze 

 B mit der Kurve c\ vier Punkte, im Wendeknoten A zwei Punkte 

 und die beiden Berührungspunkte M E , N £ gemein hat. Eine neuer- 

 liche Kombination dieser letzteren Gleichung mit der Gleichung der 

 beiden Geraden (9) gibt schließlich : 



(m — s) Xj -J- (ns 2 — 4mne) x 3 -f- 4mns (m€X, 2 -\- x a )=.0 

 oder die gesuchte Verbindungslinie: 



M g N s = (m — s)x 1 -{- ns 2 x s J r 4m 2 n£ 2 x 2 = Q. 



Man kann diese Gleichung auch in der Form schreiben: 



(m— £)x 1 -\-m 2 (x 3 -\- 4m 2 x <l ) — (10), 



welche zeigt, daß sämtliche Verbindungslinien M E N e durch den Schnitt- 

 punkt von 



x 1 ^=0 und x 3 -\-4m i x 2 z=0 



