Über die Kurve vierter Ordnung mit einer Spitze 2. Art. 9 



ein vollständiges Quadrat, und die Gleichung des Strahles BM ist 



BM se 3 x 1 -f 16 mnx ä = 11). 



Wird wieder der vorhin gefundene Wert für e in die Gleichung 

 10) der Verbindungslinie M K N S eingesetzt, so erhält man die Gleichung 

 der fünften vom Schnittpunkte (D') der Spitzentangente und der 

 Doppeltangente an die Kurve c\ kommenden Tangente (£'), u. zw. 

 in der Form : 



9 x \ ~h 64 mnx 3 -\- 256 m 3 nx. z = 

 oder 



ť = 9 x 1 -f» ßa mn (x 3 -f- 4 m 2 x 2 ) = . . . . 12). 



Nimmt man zur Gleichung 11) noch die Gleichung der von B 

 an c\ kommenden Tangente BB (3), d. i. 



x 1 -j- 4 «swäßg = . . . . . (3) 



hinzu, so kann man für die vier Strahlen BM , BB , t = x x = 

 und AB das Doppelverhältnis bilden 



4 ' 



welches also für alle Kurven vom Typus c\ absolut konstant ist. 

 Nimmt man wieder zur Gleichung 12) die Gleichung der Dop- 

 peltaugente hinzu, welche in der Form 



x x — 4 mn (x s -j- 4 m 2 x 2 ) = 



geschrieben werden kann, so sieht man, daß die Doppeltangente d, 

 die vom Punkte B' an c\ noch kommende Tangente V, die Spitzen- 

 tangente t und die Verbindungslinie des Punktes D' mit dem Wende- 

 knotenpunkt A ein D op pel Verhältnis bilden, dessen Wert 



eine absolut konstante Größe für alle Kurven vom Typus 

 c\ ist. 



5. Die einfache Tangente im Wendeknotenpunkte hat die bereits 

 erwähnte Gleichung 



a m 2 x 2 -f x 3 — (4). 



Es sei der vierte Schnittpunkt von a und c\ mit A bezeichnet ; 

 man findet für den Projektionsstrahl BA die Gleichung: 



