Über die Kurve vierter Ordnung mit einer Spitze 2. Art. • \{ 



m 2 x 2 ±(k + l) 2 x 3 = U_ i 9 o , 



[—(Jc-\-l)(k-\-2)x 1 -\-tnnx ;i l[~-Jc(ki-l)x 1 -i-mnx rt ]—0Í K ' • ' '.' !■/ "' 



zusammen bestehen läßt. 



Schreibt man die zweite Gleichung in der Form: 



m 2 n 2 x\ — mnx 3 x x . 2 (k -f 1 ) 2 -f- x\ . (k -f l) 2 . [(k + 1 ) 2 — 1] = 



und eliminiert man die Grösse (k -\- l) 2 aus den Gleichungen des 

 letzten Systems, so erhält man in der Tat 



{mx x x 2 -\- nxl) 2 -{- %l% 2 x 3 — 0, 



also die Gleichung der Kurve c\. 



Man hätte ebensogut die Kurve aus den Strahlen b k und den 

 entsprechenden Paaren a k , a k ^\ herstellen können. 



Es ist einerseits daraus ersichtlich, wie man eine Anzahl dis- 

 kreter Punkte der Kurve c' 4 konstruktiv einfach finden kaun aus 

 den beiden nicht-konsekutiven Strahlensystemen in 1-2- 

 deutiger Beziehung, andererseits ist einfach zu ersehen, daß 

 irgend welche vier Strahlen aus der Gruppe a k oder vier 

 Strahlen aus der Gruppe b k Doppelverhältnisse liefern, welche 

 von keiner Konstante der Kurvengleichung abhängen, sondern nur 

 Funktionen der Werte von k allein siud, also für alle Kurven 

 vom Typus c\ gleich sind, insofern für verschiedene Kurven die- 

 selben Werte des Parameters k gewählt werden. 



Nimmt man zu dieser Konstruktion auch diejenige hinzu, 

 welche hier aus den 1-2- deutigen Verwandtschaft der Projektions- 

 strahlensysteme gerade so entsteht, wie sie für die in der Einleitung- 

 erwähnte Kurve vom Typus k 4 verwendet wurde, 1 ) so kann man eine 

 Anzahl von Punkten für verschiedene Teile des Kurvenzuges 

 einfach bestimmen. 



6. Unsere Kurve c\ besitzt bekanntlich drei Wendepunkte 

 wovon hier der eine im Knotenpunkte A enthalten ist. Da also noch 

 zwei Wendepunkte J 15 J 2 übrig bleiben, so muß es möglich sein, 

 die Gleichung eines Kegelschnittes k 2 zu bestimmen, welcher die 

 Wendepunkte «7 15 J 2 und den Punkt A enthält, und die Kurve c\ noch in 

 der Spitze B auf der Tangente Xj=0 berührt. Dieser Kegelschnitt ist 

 in der Tat durch drei Punkte J 1 , J 2 , A und eine Tangeute {x x = 0) 

 mit Berührungspunkt B bestimmt. Von den acht Schnittpunkten des 

 Kegelschnittes k 2 mit der Kurve c\ .sind zwei in A, vier in B und 

 je einer in den Wendepunkten J x und J 2 enthalten. 



l ) Siehe die in der 1. Fußnote zitierte Arbeit. 



