12 VII. Dr. Georg Majcen: 



Bildet man die Hesse'sche Determinante, so erhält man nach 

 läDgerer Rechnung die Gleichung der Hesse'schen Kurve für c\ in 

 der Form : 



H= Sm 2 n^xl -f- 16mn 3 x x xl -\- 24m 3 n 3 x x x 2 x* -f- 8n 2 x]xl ~\ r 



--(- iÇ>m 2 n 2 x\x 2 xl — Amnx\x 2 xl ~\- 2km* , n 2 x\x\xl — x\x 2 x 3 — 

 — m 2 x\x\ -j- 8m h nx\x\ =r 0. 



Wir schreiben die ersten vier Glieder dieser Gleichung in der 

 Form : 



n 2 xi . 8 {m 2 n 2 x\ -f- 2mnx 1 x 3 -\~ Sm^nx^., -\-x\) 

 und eliminieren die Größe n 2 x\ aus den Gleichungen für H und c' 4 . 



Diese Elimination liefert die Gleichung einer Kurve vierter 

 Ordnung, welche auch die beiden Wendepunkte J x , J 2 enthält 

 u. zw. 



\<6m b nx\xl -f- S2m 4 n 2 x x x 2 xl -j- ItimVxl -j- 2im 2 n 2 x x x\ -f- 



-f- AQm 3 nx[x 2 x z -\~ S6mnx[xl -\- 9m 2 x' J l x 2 f- 9a;^ 3 ±= 0. 



Schreiben wir diese Gleichung in der Form : 



Í6m 3 n (mx x x 2 -\-nxl) 2 -j- (24m i n' i x x xl -f- 40m 3 wa?^ 2 ic 3 -f- 3Qmnx\x\ -f- 

 -(- < èm 2 x\x 2 -f- 9#far 3 j = 



und elimiuieren dann die Größe (mx { x 2 -f- wa?*) 2 aus dieser Gleichung 

 und aus derjenigen von c' 4? so erhalten wir die Gleichung einer 

 Kurve dritter Ordnung, welche die beiden Wendepunkte J x , J 2 

 enthält, u. zw. 



8m 3 nx x x 2 x 3 -j- 8m 2 n 2 xl -f- \2mnx x x\ -f- 3m 2 x\ i x 2 -f- Sx[X 3 — 0, 



oder 



m (mx x x x ~\- nx\) {8mnx s -f- 3^ x ) -\~ 3x\x s -j- 9nmx x x; — 0. 



Eliminieren wir wieder aus dieser Gleichung und aus der Glei- 

 chung der Kurve c\ die Größe (mx x x 2 -(- nx\), so erhalten wir die 

 Gleichung des gesuchten Kegelschnittes h 2 in der Form: 



— x\x 2 x 3 m (8m 2 nx 3 -\- 3mx x ) -f- {3x\x 3 -j- 9mnx x xl). 



.(mx x x„ ~\-nxl) = 

 also: 



Je 2 = m^XyX., +3 ^1^3 -f- 9m«ic* =0 14). 



Außer in den in A und i? enthaltenen Schnittpunkten trifft 

 dieser Kegelschnitte 2 die Kurve c\ nur noch in den beiden Wen d e- 



