Über die Kurve vierter Ordnung mit einer Spitze 2. Art. 13 



punkten J Y und J 2 . Wir suchen nun die Projektionsstrahlen, durch 

 welche J { und J 2 aus der Spitze B projiziert werden. Zu diesem 

 Zwecke eliminieren wir aus den Gleichungen für k 2 und c' 4 die Ko- 

 ordinate £C 2 , indem wir die Größe mx^x^ aus (14) in c\ substituieren, 

 Wir erhalten: 



(3x x ~\~ 9mnx 3 — mnx 3 )' 2 — x x (3a?j -j- 9mnx 3 ) -z 

 oder 



Gx] -j- Sdmnx^ -j- 64m 2 » 2 #* =0 (15). 



Diese quadratische Gleichung beider Projektionsstrahlen BJ X% 

 BJ 2 zerfällt in die linearen Gleichungen: 



BJ» BJ„ = 12x x -f (39 ± V— 15) mnx s = (15'). 



Es ist aus dieser Gleichung zu ersehen, daß für einen reellen 

 Wendeknotenpunkt (und ein reelles Grunddreieck ABC) nur der im 

 Knoten enthaltene Wendepunkt reell sein kann. Die beiden Geraden 

 in Gl. (15') bilden mit den Geraden x 1 = 0, x 3 — ein Doppelver- 

 hältnis, dessen Wert ist: 



^vn-39-f*-Yl5 

 39 - i VÏ5 * 



Wir können also sagen : 



Projiziert man aus der Spitze 2. Art einer Kurve 4. Ordnung 

 vom Typus c\ die drei Wendepunkte, so bilden diese Pro- 

 jektionsstrahlen mit der Spitzentangente ein Doppelverhältnis 

 (z/vh), dessen Wert für alle Kurven desselben Typus mit einem 

 reellen Wendepunkt absolut konstant ist. 



Man findet wieder ein absolut konstantes Doppel- 

 verhältnis, wenn man aus dem Wendeknotenpunkt (A) die beiden 

 Wendepunkte J x , J 2 projiziert und zu diesen Strahlen die Wendetan- 

 gente # 2 =0 und die Verbindungslinie (AB) beider singulären Punkte 

 hinzunimmt. Man erhält den Wert: 



jvm = l l + 3eVg 

 11 — 3* Yl5 



Die Wendetangenten inj, und J 2 führen zu weiteren 

 invarianten Größen. 



Um die Gleichung der Verbindungslinie beider Wendepunkte 

 J x , Jo zu erhalten, eliminieren wir aus den Gleichungen des Kegel- 



