2 XXXI. Michel Petrovitch: 



a pour intégrale 



l'équation 



y = Cx 2 + C 2 x*', 

 y' 2 — yy' + e* = 



admet comme intégrale 



n, — H-L- 



C 



y z=. C -\- -Fr e x etc. 



Toutes ces intégrales générales rentrent dans le type (2). 



Nous appellerons, pour abréger le langage, équation (E) toute 

 équation du premier ordre jouissant de la propriété précédente et 

 ces équations feront l'objet de cette Note. 



2. Proposons nous d'abord de reconnaître si une équation 

 donnée 



(4) F(x,y,y') = 



est une équation (E). A cet effet remarquons que pour qu'il en 

 soit ainsi, il faut et il suffit que l'intégrale générale (2) de celle-ci 

 satisfasse à une certaine équation linéaire et homogène du second 

 ordre 



(5) y" — <p x (x) y' + <p 2 (x) y 



(où q> 1 et <p 2 sont des fonctions inconnues de x) et qu'elle se déduise 

 de l'intégrale générale de (5) lorsqu'on établit une relation entre les 

 constantes" d'intégration qui y figurent. L'intégrale «/doit donc satis- 

 faire en même temps à (4) et à l'équation 



(6) är + ^ + ^^ + ^^y=° 



obtenue en différentiant (4) et en y remplaçant y" par sa valeur (5). 

 Pour que l'équation donnée (4) soit une équation (E), il faut 

 et il suffit qu'on puisse déterminer les deux fonctions q> 1 et <p 2 de 

 manière que V équation (6) se réduise à une identité ^lorsqu'on tient 

 compte de (4). 



