Sur une classe d'équations différentielles du premier ordre. 13 



la seule — en mettant à part l'équation linéaire — qui soit une 

 équation (JE) est la suivante 



y<* = ®(x){y* + K) 



(où K est une constante, © fonction quelconque de x\ ayant pour 

 l'intégrale générale 



/ax p OjX 



m — / m 



Il est facile à voir que le genre ďune équation (E) en y et y 

 ne saurait être égal à un. Car si ce genre était 1, l'intégrale générale 

 de l'équation étant à points critiques fixes, d'après le théorème connu 

 de M. Poihcabé cette intégrale serait une fonction rationnelle 

 [à coefficients fonctions algébriques des coefficients <jp,(cc) de l'équation 

 elle-même] de l'expression 



J \{x) dx + C 



où A est le symbole d'une fonction méroinorphe doublement périodique 

 et %(x) une fonction algébrique des coefficients q>i(x). L'intégrale 

 aurait donc de pôles variant avec la constante d'intégration et 

 l'équation donnée ne saurait être une équation (E). 



En ce qui concerne la relation 



entre les constantes d'intégration, on peut remarquer qu'elle sera 

 toujours algébrique si l'équation différentielle proposée est elle-même 

 Algébrique en y et y'. De plus, l'équation étant mise sous la forme 



%<p i (x)y m *y' ni =0 



le degré de la courbe algébrique <& — sera au plus égal à la plus 

 grande râleur m, • ,t t . Autrement la relation 0=0 ne saurait 

 s'identifier avec l'équation (38) par la substitution linéaire 



(39, '-'' = * + ** 



