14 XXXI. Michel Petrovitch : 



Ajoutons encore une remarque générale relative à la nature 

 analytique de l'intégrale générale d'une équation (E), considérée 

 comme fonction de x. 



Si, a, ß, y, â étant convenablement choisies, on effectue dans 

 l'équation donnée la substitution (39), équivalente à 



y-ad-ßy^ ad-ßy^ 

 y — aà — ßy l ad — ßy 2 



l'équation doit se réduire à une relation (C x , G,) =: 0. Par suite 

 a, ß, y, ó sont des combinaisons algébriques des fonctions de x 

 figurant explicitement dans l'équation donnée. On en conclut, en tenant 

 compte de l'équation (28) que: Vintégrale générale de toute équation 

 (E) algébrique est de la forme 



f cp (x) dx f i> (x) dx 



y—G x e -\-C 2 e 



où y et ip sont combinaisons algébriques des coefficients de l'équation. 



6. Etant donnée une équation (E), supposons qu'on ait déterminé 

 les fonction <p x (x) et <jp 2 (x) qui lui correspondent et qu'on ait formé 

 l'équation linéaire du second ordre correspondante 



(41) y" = <p x y' + <p 2 y 



A toute proposition relative aux intégrales de l'équation (41) 

 correspondra une proposition relative aux intégrales de Y équation 

 (E) proposée. 



En particulier, si u est une intégrale particulière d'une équation 

 (E), elle sera aussi intégrale de l'équation correspondante (41); 

 l'intégrale générale de celle-ci étant 



/>, dx 



(42) y-C x u-\-C,u C\ dx 



J u 



celle de {E) s'obtiendra en établissant dans (42) une certaine relation 

 <3> = entre C x et C 2 . Cette relation est celle à laquelle se réduira 

 l'équation différentielle proposée lorsqu'on y remplace y par (42). 



