Sur une classe d'équations différentielles du premier ordre. |5 



Si u et v sont deux intégrales particulières de (E), sou intégrale 

 générale sera 



y — C 1 u-\-C 2 v 



avec (C* , C 2 ) = 0. 



Les équations | E) étant intinnnement liées aux équations linéaires 

 homogènes du second ordre, on peut faire quelques remarques algé- 

 briques relativement aux valeurs qui annulent leurs intégrales. 



Ainsi : les zéros multiples de y ne varient pas avec la constante 

 d'intégration et, dans les cas où de tels zéros existent effectivement, 

 ils se trouvent parmi les singularités de l'une fonctions tp 1 et <p 2 , 

 figurant dans l'équation (41). 



Considérons maintenant les zéros simples, variant avec la con- 

 stante d'intégration. En posant 



-■, cix 



y — ze 



l'équation (41) devient 



(43) 0" + &(x)0 = O 

 avec 



(44) &{x)— — <p\ -^- — <pl- <p 2 



Comparons d'abord entre elles les intégrales de deux équation 

 (/?,) et (E 2 ), l'une correspondant à la fonction a i (ce) et l'autre à g> 2 (x). 

 Si dans un intervalle réel de x zz a à x == b les fonctions 5) x et co 2 

 sont finies et contiuues et que, de plus, ou ait 



ôj (x) r^ » 2 (x) 



dera zéro consécutifs de l'intégrale générale de (/?,) comprennent 

 au moins un zéro de l'intégrale de(2£ 2 ). Ceci resuite immédiatement 

 flu théorème connu de Sturm, appliqué à l'équation (43), 



Boit, ensuite, 8>(x) la fonction définie par (44) et correspondant 

 à uni- équation (/•. donnée. Partageons l'intervalle donné (a, b) en 



Dterralles («, ß) dans lesqti ils < : > {x) garde un signe invariable. 



