13 XXXI. Michel Petrovitch: 



à coefficients fonctions arbitraires de #, pouvant être liées entre elles 

 par certaines relations différentielles 



(50) X ?: =o (• = i,2,3,....) 



Pour que l'équation F— o ait l'intégrale générale de la forme 

 (47), il faut et il suffit que cette intégrale satisfasse en même temps 

 aux deux équation du premier ordre 



F(x,y,y>) = 

 } H(x,y,y>) = 



la seconde ayant été obteune en éliminant y" entre F— o et l'équa- 

 tion (49). Par suite on pourra déterminer les coefficients de l'équa- 

 tion (49), qui figureront aussi dans 7?z= o, de manière que l'équa- 

 tion Hz=. se réduise à une identité lorsqu'on tient compte de F— 

 et qu'ils satisfassent en même temps aux relations (50) dans le cas où 

 de telles relations subsistent effectivement. 



Cette condition étant remplie, où connaîtra les coefficients de 

 l'équation (49); celle-ci étant intégrée et si (48) est son intégrale 

 générale (la manière dont x entre dans / étant connue cette fois-ci), 

 ce sera en même temps l'intégrale générale de l'équation proposée, 

 avec une certaine relation entre les constantes. Cette dernière relation 

 est celle à laquelle se réduira identiquement l'équation différentielle 

 proposée après y avoir remplacé y et y' par leurs expressions re- 

 spectives tirées de (48). 



Ainsi, pour que l'intégrale générale d'une équation F(x, y, y') — 

 soit de la forme 



(52) y = v (k) -f f(C) l (x) + cp (C) (i (X) 



il faut et il suffit qu'on puisse déterminer trois fonctions 



(f^X), Ç> 2 (£C), <p 3 (x) 



de manière que l'équation 



dF.dF ■ dF „ 



