4 XXXVI. Gino Loria: 



riescono cli grande utilita. Emerge infatti dalla (2) che, dáti x e y, il 



rap porto -j- puô in consegueüza assumere n distinti valori, onde per 



ogni punto del piano passano n curve integrali della citata equazione ; 

 se invece nella (3) attribuiamo a w, v determinanti valori, essa 



Cil) 



equazione déterminera v valori del rapporto -=- , onde ogni retta del 



piano è toccata di v curve integrali di quell' ' equazione. Possiamo 

 per tanto ritenere stabilito il seguente 



Teoréma II. In una famiglia di curve panalgebriche di grado 

 n e rango v si trovano n curve passanti per un punto arbitrario del 

 piano e v di tangenti ad una retta qualsiasi del piano stesso. 4 ) 



Questo teoréma è incluso in altro piu generale, che è agevole 

 dimostrare con i metodi propri della geometria numerativa 5 ) ; è il 

 seguente : 



Teoréma III. In una sistema di curve panalgebriche del 

 grado n e del rango v se ne trovano mv -\- n [i tangenti ad una curva 

 algebrica delVordine m e della classe (u.. 6 ) 



3. Uninteressante proprietà delle curve panalgebriche risulta da 

 una proposizione fondamentale concerente le soluzioni šingolari delle 

 equazioni differenziali del 1° ordine, dovuta a Darboux. 7 ) Tale pro- 

 posizione dice che eliminando y' fra le due equazioni 



df 



si ottiene 1' equazione del luogo delle cuspidi delle curve integrali della 

 equazione (2). Ora, l'equazione risultante è algebrica, e su di essa 

 trovansi in particolare le cuspidi di una qualunque fra quelle curve 

 integrali, si conclude quindi: 



Teoréma TV. Le cuspidi di qualsia curva panalgebrica 

 appartengono ad una curva algebrica. 



4 ) Mémoire citato p. 75. 



°) Schubert, Kalkül der abzählenden Geometrie (Leipzig, 1879) p. 51. 



6 ) Proposizione già dimostrata dal Fouret {Mémoire sur etc., p. 82, teor. XX.) 

 pel caso di una curva esente da punti šingolari. 



7 ) Sur les solutions singulières des équations aux dérivées ordinaires du 'premier 

 ordre (Bulletin des Sciences math. T. IV, 1873). Cfr. E. Picard, Traité d'analyse. 

 T. III (Paris, 1896) p. 47. 



