342 BULETINUL SOCIETĂŢII DE SGIINŢE 



propriete determinde dans le voisinage du point x, si elle en jouit 

 pour tous Ies points situes dans l'intervalle (x — d, x-|-d) ou d est 

 une quantite positive (non nuUe). Suivant que le point consid^r^ 

 est entre x et x-f-d ou entre x et x — d ii sera designe respective- 

 ment par x+ et x" ; on aura donc : 



x<x+<x-|-d; x — d<x~<x; 



x± designera un point quelconque du voisinage du point x. 



Cela ^tant, soit f (x) une fonction continue dans Ies intervalles 

 ou on la considere. Rappelons Ies theoremes suivants : 



i)Sif(xo)^o, f(x±)f(xo)>o; 



2) Si f(a). f(b)>o, f(x) s'annule au moins une fois entre a et b; 



3) Soit f'(x) la derivee de f(x), d^rivde qu'on suppose exister en 

 chaque point de ab; on aura, 



f(x7)<f(xo)<f(x+) si f'(xo)<o 

 et f(x+)<f(xo)<f(xJ » f'(xo)<o. 



4) Des points en nombre infini situes dans un intervalle fini 

 admettent des points limites. 



I. Theoreme de Rulle. «La fonction f (x) ayant une derivee 

 bien determinee et finie en chaque point de l'intervalle a b, si l'on 

 a f(a)=f(b)=o, on aura aussi f'(x):=:o, a<x<b". 



Je puis supposer f(x)>o (a<x<b). 11 n'y a evidemment pas lieu 

 de faire la demonstration que dans le cas 011 entre a et b ii existe 

 une infinite de zeros de f(x). Portons, dans ce cas, notre attention 

 sur un couple quelconque de z^ros (a^, b^) et soit (\{a.^^c{,^h^j un 

 des points limites des zeros en nombre infini de la fonction t(x), 

 situes dans l'intervalle a^b^. On aura f'(q)=io. Supposons en 

 effet, qu'on ait f'(q)>o; on aurait aussi (3): 



f(q-) <f(q) <f(q+) 



Or, d'apres (i), f(q)=:o ; donc f(q+)>o, f(q~)<.o ce qui est ab- 

 surde car on peut prendre pour quelques uns des points q"*" on q~ 

 des zeros de la fonction, z6ros qui se trouvent en nombre infini dans 

 tout intervalle comprenant le point q a son interieur. 



Meme conclusion dans le cas ou P(q) est negative ; donc f'(q)=:ro, 

 et alors le theoreme se trouve etabli. II est par suite permis de 

 supposer f(x)>o, (a<x<b). 



