BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCllNŢE S4â 



Soit a le milieu du segment a b; nous supposons f'(a):i:o et nous 

 appelons correspondant de a par rapport â l'intervalle a b un 

 point P tel que Ton ait : 



a<|B<b, f(P)=f(«), f(x)— f(a)>o (a<x<j3), f'(p)<o si P(a)>o 

 et a<p<a, f(!3)=f(a), f(x)— f(a)>o (a<x<p), f'(p)>o si f'(a)<o. 



Je dis que ou bien le theoreme est demontr^ ou bien on peut 

 admettre l'existence du point (3. Supposons en effet f'(a)>o et en- 

 visageons la fonction suivante : 



F(x)=f(x)-f(«). 



L'inegalit^ F(«''')- F(b)<o montre d'abord que cette fonction 

 s'annule au moins una fois entre Ies points x=a et x^b. Si elle 

 s'y annule une infinite de fois, soit q, (a<q<b), un des points li- 

 mites des zeros. On aura comme precedemment F(q)=o, F'(q)=o 

 et le theoreme est demontre. Reste le cas ou la fonction F(x) n'a 

 qu'un nombre limite de z^ros entre Ies points x=:a et xrzrb. 

 Soit p le premier, (a<p<b) ; c'est le point correspondant cherche. 

 En effet, en dehors de l'hypothâse f'([B)=:o que nous ecartons, 

 on ne peut pas avoir f'(p)>o car Tin^galit^ 



F(a+). F(|3-)<o 



exigerait que la fonction s'annulât au moins une fois entre Ies 

 points x=a et x=|3, ce qui est contre l'hypothese. On a donc 

 f'(p)<o. 



Le raisonement qui precede s'applique â la fonction F(x) et â 

 l'intervalle ajii. Soient y et o un couple de points correspondants, 

 l'un des ces deux points dtant le milieu du segment ap. On aura : 



8<o<f!, f(oj=ff8), f(x)— f(8)>o (8<x<o), f'(2)<o si f'((?)>o 

 f.t a<o<8, f(o)^f(8), f(x) — f(8)>o (S<x<8), f'(o)>o si f'(8)<o, 



ce qui montre que Ies points 8 ct o sont aussi correspondats pour 

 la fonction f fx) et relativement â Tintiirvalle ap. Ainsi ou bien 

 le th'^-orfime se trouve d(4montrf^ ou bien ce qui prdc(^de peut etre 

 conţinu»^! ind'';finiment. On arrivcra, dans co dernier cas, â une 

 suiff; infinif; d'intervalles que nous d^signerons par : 



ap, a,p„ «ijpij, 



