BULETINUL SOCIETÂŢH DE SCUNŢE 345 



Si Xg-f-h, Xg-f-k, X|j-|-h-|-k designent des points du mame in- 

 tervalle, on a l'identite : 



?(xo,k)— e(Xo,k+h) _ o(xo,k+h)— tp(xo+k,h) 

 ^^ h ~" k 



qu'on obtient en calculant de deux manieres differentes Texpres- 

 sion f(Xo-|-k-|-h) — f(xo+k) â savoir : 



f(xo+k+h)-f(Xo+k).==h9(xo+k,h) 



f(Xo+k+h)-f(Xo+k)=(h4-k) ?(xo,k+h)-ka)(Xo,k). ' 



Nous allons voir que la fonction <p(xQ,k) ne peut prendre que 

 Ia valeur zero. En effet; supposons que pour k==:ko>o on ait 

 ?(xo.ko)=:a>o. 



Dans Tintervalle de k=o â k=:kQ la fonction de k: cp(xQ,k) —a 

 peut s'annulerune infinite de fois. Soit, dans ce cas, q un des points 

 Hmîtes des zeros. (o<q<kQ); on aura d'apres (i): 



g— ?(xo,+h) __ y(xo,q+h)-cp(Xo+q,h) 

 ^'^ h - q 



Dans le voisinage du point h=o le second membre est positif 

 et ii s'ensuit que Ton a dans le mame voisinage 



a — 9(xo,q-[-h)So suivant que hso, 



ce qui est incompatible avec l'hypothâse que le point k=q est 

 un point limite de zeros de la fonction a — !p(xg,k). Mame conclusion 

 si k(,<o. 



Soit donc q la premiere valeur de k en partant de k=;o, pour 

 laquelle on a 'ş(xQ,qj=:a>o. 



On aura, pour k compris entre o et q, 



9(xo,k)<a, 



le premier membre ayant la valeur Z(^ro pour k=o. II s'ensuit que 

 pour h suffisamment petit et n(^gatifle num^rateur dans le premier 

 membre de (2) est positif, ce qui n'est pas. On demontre de mame 

 que la fonction '5(xQ,k) ne peut prendre aucuiu; valeur negative. 

 Donc z,(x,„k)=o. C.Q.F.D, 



3. «Si dans l'intervalle a b on a f'(xj^o(f'(x)#o), sansavoir con- 

 stamment f'(x)=:o, la fonction f(x) est croissante (dcicroissante) 

 dans ce mfimc intervalle». 



