346 BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 



Supposons f'(x)>o, ar^Xi^b et designons par c et x deux points 

 tels que Ton ait : 



a:^c<X:^b. 



Je dis qu'on aura aussi f(x)>f(c). 

 Envisageons en effet la fonction 



F(x)=f(x)-f(c) 

 On ne peut pas avoir F(X|)=:=o, c<Xj^b, â cause de l'inegalit^ : 



F(c+). F(xr)<o, 

 qui montre que la fonction F(x) s'annule encore entre Ies points 

 x=x et x=Xq. Si ces zeros sont en nombre infini et si q est un 

 de leurs points limites, on a 



F(q)=o,F'(q)>o 

 ou, ce qui revient au m^me (3), 



F(q-)<o<F(q+) 



ce qui est absurde. Les memes z^ros ne peuvent d'ailleurs pas 



etre en nombre fini car si x^ en est le premier â partir de x=c 



l'inegalit^ F(c"^). F(x7)<o conduit a un zero entre x=c et x=Xj. 



On ne peut donc avoir que f(x)>f(c) ou f(x)<f(c) (c<Xî^b). 



Si on avait f(X|)<f(c), on aurait aussi: 



F(c+). F(xi)<o 

 et F(x) s'annulerait entre les points x:^c et x=:x, ce qui est im- 

 possible d'apr^s ce qu'on vient de d^montrer. Donc f(x)>f(c) â 

 partir de x=c. 



Si la d^riv^e peut aussi s'annuler mais sans devenir negative, 

 on considerera la fonction f(x)-f-£x, z dtant une constante positive, 

 et l'on aura alors : 



f(x) + £X>f(c) + £C 



ou encore : 



f(x)-f(c)>-£(x— C). 



La constante f(x) — f(c) est donc superieur â toute quantite ne- 

 gative et par suite : 



f(x)— f(c)>o 

 D'ailleurs si : c<Xi<x on a aussi : 



f(c)^f(x,)^f(x) 

 ce qui montre que le signe d'^galite doit disparaître, si la fonction 

 f(x) n'est pas une constante dans l'intervalle cx. 



