Mathematics. — ‘Ueber die endlichen topologischen Gruppen der 
Kugelfliiche’. By B. von KerfkJArtó. (Communicated by Prof. 
L. E. J. Brotwer). 
(Communicated at the meeting of November 29, 1919). 
Die vorliegende Arbeit gibt eine neue Herleitung des Resultates, dass 
die endlichen topologischen Transformationsgruppen mit invarianter 
Indikatrix der Kugelfläche mit den Gruppen der regulären Körper 
identisch sind, was nach dem Brouwrrschen Grundsatz *), laut dessen 
die topologischen Gruppen mit den konformen homöomorph sind, 
aus dem die konformen Transformationsgruppen der Kugelfläche 
betreffenden, bekannten Satze folgt. 
Wir betrachten eine Gruppe G von n topologischen, die Indikatrix 
erhaltenden Transformationen der Kugelfläche in sich. Eine willkürliche 
Transformation ¢ von Gist nach dem Rotationssatz *) eine v-periodische 
Drehung, die also zwei Fixpunkte P und Q hat; die Anzahl der 
mit P bei G äquivalenten Punkte ist ~. Wir verbinden P mit Q 
durch einen Weg 6, der seine bei den Potenzen von ¢ entstehenden 
Bilder ausser in P und Q nicht trifft. Sei von Paus R der erste solche 
— 
Punkt von 6, dass PR eines seiner bei G entstehenden Bilder ausser- 
halb P trifft. Wenn R= Q, so ist G mit der zyklischen Rotations- 
gruppe 1, ¢, ¢?,.... # + identisch. Wenn aber Rk ~ Q, so kann auf 
dem Bogen PR höchstens ein mit A aquivalenter Punkt A’ liegen. 
— 
Wenn auf PR kein mit R äquivalenter Punkt liegt, so ist R bei 
Za 
einer Transformation von G invariant, sodass der Bogen PR ein 
zwei nichtäquivalente Fixpunkte von G verbindender, seine Bilder 
ausserhalb der Endpunkte nicht treffender Bogen c ist. Wenn aber 
— 
auf PR ein mit AR äquivalenter Punkt A’ liegt, der bei keiner 
Transformation von G ausser der Identität invariant ist, so betrachte 
IE 
man das System der Bilder des Bogens A’ von 6; es besteht aus 
einander nicht treffenden Jordanschen Kurven, da & zu genau zwei 
solehen Bogen gehört; ferner ist dieses System bei G invariant. 
1) Diese Proceedings XXI, S. 1143 (29. Marz 1919). 
2) Math. Ann. Bd. 80, S. 36. 
