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Sei y eine der genannten Kurven; da das innere, d. h. keinen Bild- 
punkt von P enthaltende Gebiet von y bei jeder es invariant lassenden 
Transformation von G einer Potenz derselben Drehung unterworfen 
ist, so kann man /’ mit dem im Innern von y existierenden einzigen 
Fixpunkt S (der nicht mit Q zusammenfallen kann) durch einen 
seine Bilder nicht treffenden Weg verbinden, welcher mit dem Bogen 
PR’ von 6 zusammen einen seine Bilder ausserhalb der Fixpunkte 
von G nicht treffenden und zwei Fixpunkte verbindenden Weg c bildet. 
Die Bilder von c zerlegen die Kugelflache in Elemente; falls eines 
dieser bei einer Transformation von G invariant, also einer Drehung 
unterworfen ist, so kann man einen Fixpunkt seiner Grenze mit dem 
in seinem Innern liegenden einzigen Fixpunkt 7’ durch einen seine 
Bilder nicht treffenden Weg d verbinden. Die sämtlichen Bilder 
von e und d ergeben zusammen ein bei G invariantes System H von 
folgender Beschaffenheit: 1. H zerlegt die Kugelflache in Elemente, 
von denen je zwei äquivalent sind und jedes nur bei der Identitat 
invariant ist; 2. jeder Fixpunkt von G liegt auf H; 3. jeder Punkt 
von H, der zu mehr als zwei Bogen von H gehört, ist ein Fixpunkt 
von G. Die Anzahl der Elemente, in welche H die Kugelfläche 
zerlegt, ist nm; die Anzahl der nicht äquivalenten Fixpunkte ist 3, 
ihre gesamte Anzahl ist also, wenn »,,r,,v, ihre Multiplizitäten be- 
1 1 1 
zeichnen, gleich 7 (—+ ): die Anzahl der Kanten jedes 
hi >] Yv 
1 ‘3 3 
Elementes ist 4, also die gesamte Anzahl der Kanten 2». Mithin 
besteht nach dem Eurerschen Polyedersatz die Formel 
n 1 2 
n+ S>——2In=2, oder S—=—1+—, 
Dv. Dv. n 
1 t 
woraus sich die bekannten Lösungen ergeben '). 
Mittels der gleichen Methode werde ich die Brouwurschen Resultate *) 
in bezug auf die endlichen Gruppen von topologischen Transformationen 
des Torus herleiten. 
1) Krein, Vorlesungen über das Ikosaeder, S. 119. 
4) C. R. t. 168, S. 845 (28. April 1919). 
