Mathematics — “Zur Amomatik der Mengenlehre’. By Prof. A. 
SCHOENFLIES, Frankfurt a. M. (Communicated by Prof. L. B. J. 
BROUWER). 
(Communicated at the meetings of February 28 and March 27, 1920). 
Die Hilbertsche Grundlegung der Geometrie darf für alle analogen 
Untersuchungen als vorbildlich gelten. Zwei ihrer Eigenschaften sind 
es, auf die es hier ankommt. Erstens wird von allen sprachlichen 
Definitionen der Objecte, mit denen sie operiert, wie Punkt, Gerade, 
zwischen u.s.w. abgesehen; nur ihre gegenseitigen Beziehungen und 
deren Grundgesetze werden axiomatisch an die Spitze gestellt *). 
Zweitens werden die Axiome in verschiedene Gruppen gewisser 
Higenart und Tragweite gespalten (die des Schneidens und Verbin- 
dens, die Axiome der Ordnung, der Kongruenz u.s.w.), und es ist 
eine wesentliche Aufgabe des axiomatischen Aufbaues, zu prüfen, 
bis zu welchen Resultaten eine einzelne oder mehrere dieser Gruppen 
fiir sich fiihren. Die gleiche Behandlung eignet sich fiir die Mengen- 
lehre. Von sprachlicher Hinfiihrung der Begriffe Menge, Bereich 
u.s.w. ist daher ebenso abzusehen, wie von der des Punktes oder 
Raumes. Ebenso kann man hier gewisse Axiomgruppen unterscheiden, 
die Axiome der Aequivalenz, die Axiome der Ordnung u.s.w. und 
kann die gleichen Fragen stellen, wie im Gebiet der Geometrie. 
Dies soll im Folgenden geschehen, und zwar fiir denjenigen Teil, der 
nur mit der Aequivalenz der Mengen, der Mengenteilung und Men- 
genverbindung, sowie der Mengenvergleichung operiert. 
Will man die Probleme der Mengenlehre einer derartigen Behand- 
lung unterwerfen, so ist es oberstes Erfordernis, die Begriffe der 
endlichen und der unendlichen Menge auf einer Grundlage einzu- 
führen, die nur die ebengenannten Fundamentalbegriffe benutzt. 
Solehe Definitionen sind ja in der Dedekindschen Begriffsbestimmung 
vorhanden: Eine Menge JM heisst unendlich, wenn es eine (ächte) 
Teilmenge M’ von M giebt, die aequivalent M ist; sie heisst endlich, 
1) Der Euklidische Aufbau beginnt noch mit den Worten: Ein Punkt ist, was 
keine Teile hat. Eine Linie ist eine Länge ohne Breite usw. In dem Verzicht auf 
alle solchen sprachlichen Begriffsbestimmungen liegt einer der wesentlichen 
Hilbertschen, und durch ihn modern gewordenen Gedanken. Die Mengenlehre hat 
sich ihm bisher nicht erschlossen. 
