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wenn es eine solche Teilmenge nicht giebt. Sie haben daher den 
alleinigen Ausgangspunkt zu bilden. 
Die historische Entwiekelung der Mengenlehre ist freilich wesent- 
lich anders vor sich gegangen. Während vorstehend die wnendliche 
Menge als das logisch posztiv bestimmte Object erscheint, und die 
endliche Menge als ihr logisches Gegenteil, ist die historische Ent- 
wiekelung umgekehrt von den endlichen Mengen als woh!bekannten 
mathematischen Objecten ausgegangen, und hat die unendlichen 
Mengen als Gegensatz der endlichen Mengen eingefiihrt. Der so 
benutzte Begriff der endlichen Mengen gehört aber bereits einem 
Gebiet an, das sich nicht mehr ausschliesslich an die Aequivalenz- 
beziehungen anschliesst. Der historisch überkommene Begriff der 
endlichen Menge ruht ja überhaupt nicht auf axiomatischer Grund- 
lage. Mag man ihn sprachlich oder empirisch oder anschaulich 
auffassen, er war im wesentlichen an der Hand des Zahlbegriffs 
entstanden und ruht jedenfalls auf Voraussetzungen, in die auch die 
Ordnung als Grundbegriff eingeht. Diese gehort aber bereits einer 
Begriffsgruppe an, von der hier abzusehen ist. So laufen in der 
historischen Entwickelung der Mengenlehre zwei wesentlich verschie- 
dene Bestimmungen der endlichen und unendlichen Mengen unver- 
mittelt neben einander her und erschweren infolgedessen die Frage 
nach dem, was den einzelnen Sätzen axiomatisch zu Grunde liegt. 
Auch insofern ist eine Klarung des Sachverhalts wiinschenswert. 
Das Resultat erweist sich in zwei Punkten als durchaus eigenartig. 
Die Vergleichung der Mengen beziiglich ihres Grössencharacters ist 
nämlich nichts, was dem Mengenbegriff allein eigentümlich ist; sie 
betrifft allgemeiner alle Objecte, für die man das Ganze und den 
Bestandteil unterscheiden kann. Die Axiomatik, die hier entwickelt 
wird, ist also richtiger eme Awiomatik der Gröszenlehre, und zwar 
in dem besonderen Fall, dass es auch Grössen von wend hichem 
Character giebt. Dies bedingt, dass die Mlemente der Mengen im 
Folgenden gar nicht benutzt werden; immer nur bilden die an sich 
möglichen Beziehungen zwischen den Ganzen und ibren Teilen den 
Gegenstand der Untersuchung. Deven auf axiomatischer Grundlage 
ruhende, umfassende Krörterung bildet den eigentlichen’ Inhalt der 
Arbeit. Ich habe aber doeh die gewohnten Mengenbezeichnungen 
beibebalten. Für die Mlemente der Mengen wird erst am Schluss 
eine auf den Begriff der Teilmenge sich stützende Winfiihrungs- 
mögliehkeit gezeigt. Sie erscheinen als solehe Teilmengen, die selbst 
niebt weiter in Teilmengen zerlegbar sind (gleichsam als die Atome). 
Kine zweite Kigenart der Untersuchung betrifft die logischien Not- 
wendigkeiten, die dev axiomatische Aufbau dieses besondern Gebietes 
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