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verlangt. Ausser den selbstverstandlichen axiomatischen Festsetzungen 
über die Regeln, nach denen man mit den Begriffen der Aequivalenz, 
der Teilmengen usw. zu operieren hat, treten auch noch Annahmen 
~auf, die man wohl nicht erwarten mag. Bei ihrer Einführung handelt 
es sich aber — und darin besteht die genannte Higenart — weniger 
um spezifisch mathematische Notwendigkeiten, als vielmehr um rem 
logische, also um Festsetzungen, die deshalb nötig sind, weil man 
ohne sie — um welches wissenschaftliche Gebiet es sich handeln 
mag - aus den in Frage stehenden Voraussetzungen Schlüsse über- 
haupt nicht ableiten kann. Hin allgemeiner Grundsatz der Logik 
lautet: E mere negativis nihil sequitur; d.h. aus lauter negativen 
Prämissen kann eine Folgerung nicht gezogen werden. Aus den Sätzen 
kein A ist ein B, kein ® ist ein © 
lässt sich in der Tat eine Beziehung zwischen % und € nicht ent- 
nehmen; und ebensowenig gestatten die Sätze 
kein ®B ist ein U, kein © ist ein U 
eine Beziehung zwischen B und €). Gerade solche Prämissen sind 
es aber, die uns bei den mengentheoretischen Problemen mehrfach 
begegnen, und deshalb der Einführung einer zwischen 4 und € oder 
zwischen DB und © vorhandenen Beziehung den Stempel der axio- 
matischen Notwendigkeit aufdrücken. 
$ 1. Die Aequivalenz. 
Die mathematischen Objecte, von denen im Folgenden die Rede 
sein wird, heissen Mengen (Teilmengen, Verbindungsmengen). Alle 
sollen denselben Aequivalenzbeziehungen gehorchen, die wir als 
Axiome der Aequivalenz (~) einfiihren. Sie lauten: Sind M, NV, P 
verschiedene Mengen, so gilt 
I Aus M= N folgt N~ M. 
Ik Aus) Mie NE unde P folet iP: 
1) Aus den Vordersätzen 
U ist nicht BV, U ist nicht © 
kann freilich in gewissen Fallen doch eine positive Folgerung gezogen werden und 
zwar für Xl selbst. Nämlich dann, wenn man eine zwischen 8 und © bestehende 
positive Beziehung kennt. Aus den Sätzen: 
Das Dreieck D ist nicht spitzwinklig und 
Das Dreieck © ist nicht stumpfwinklig 
folgt, dass D rechtwinklig ist. Hier liegen nämlich nur scheinbar ausschliesslich 
negative Prämissen. vor; zu ihnen kommt als positive der Satz: Jedes Dreieck ist 
entweder spilzwinklig oder stumpfwinklig oder rechtwinklig. Vgl. auch die Anmer- 
kung auf S. 839. 
