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Der Aequivalenzbegriff hat also sowohl kommutativen, wie auch 
assoziativen Character. 
Aus diesen Axiomen folgt: 
1. Aus M~ N und N nicht ~ P folgt M nicht ~ P. Denn 
ware If ~ P, so würde daraus in Verbindung mit N ~ M gemäss 
I weiter V ~ P folgen, im Gegensatz zur Voraussetzung. 
Die Axiome | u. II zeigen, dass sie die Ausdehnung auf den Fall 
zulassen, dass M und N dieselbe Menge bedeuten. Wir fügen also 
als weiteres Axiom hinzu 
Ill. Es ist M= M. 
§ 2. Teilmengen und Verbindungsmengen. 
Ist M’ Teilmenge von J, so soll dies durch 
M't M 
bezeichnet werden. Wir nehmen durchweg an, dass M' von M 
verschieden ist, und nennen insofern M’ auch ächte oder eigentliche 
Teilmenge von M. 
Für die Teilmengen sollen folgende Axiome gelten (Aviome der 
Teilmengen) : 
I. Aus M’tM und M’’ tM’ folgt M’’ tM. 
II. Jede Teilmenge M’ von M bestimmt eindeutig eine zweite Teil- 
menge M/, von M, die ihre Komplementürmenge bezüglich M heisst. 
UL Die Komplementärmenge von M, ist wiederum M'. 
Wir dürfen daher folgende Bezeichnungen einführen. Wir schreiben 
M,k M' resp. M'k M, und setzen dem gemäss (III) in die Form 
ll’. Aus M,k M' folgt Mk M,. 
Fiir die Beziehung von M, und MW’ zur Menge M selbst schreiben wir 
M=(M,, M')=(M', M,), 
und sagen, dass M in die Teilmengen M’ und M, zerfällt. Zusam- 
menfassend kénnen wir also sagen: 
Aus M’tM folgt M,tM, Mk M’, MkM, M=(M’, Mm). 
Seien nun M und MN zwei Mengen, so können bezüglich ihrer 
Teilmengen zwei Fille eintreten. Entweder gibt es für M und N 
identische Teilmengen, oder es giebt keine solchen Teilmengen. In 
diesem Fall nennen wir die Mengen fremd zu einander, oder kurz 
fremd, und schreiben 
Mf N resp. Nf M. 
Fiir fremde Mengen gilt der Satz: 
1. Sind M und WN fremde Mengen, so ist auch jede Teilmenge 
von M zu jeder Teilmenge von N fremd; d. h. 
