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Aus MN, M’tM, N’ tN folgt M’ f N’. 
Waren nämlich die Teilmengen MW’ und WN’ nicht fremd, und ist 
P eine in beiden enthaltene Teilmenge, so hatte man 
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und daher gemäss I auch 
PtM und Pt N, 
im Widerspruch mit der Voraussetzung. 
la. Der Satz gilt auch so, dass M’ zu N selbst, und ebenso NV’ 
zu M fremd ist. Der Beweis ist derselbe. 
Wir stellen weiter folgende Axiome auf: 
IV. Die beiden Komplementirmengen M’ und M, einer Menge M 
sind fremde Mengen; d. h. 
Aus M,k M’ folet M, f M’. 
Diese Beziehung soll aber auch umgekehrt gelten ; zu diesem Zweck 
führen wir folgendes weitere Axiom ein (Aviom der Verbindungs- 
mengen). 
V. Zwei fremde Mengen N und P bestimmen eine und nur eine 
Menge M, deren Komplementdrmengen sie sind; d. h. 
Aus Nf P folgt Ni M, Pt M und NEP. 
Die Axiome IV und V lassen sich also auch so auffassen, dass die 
Beziehungen N&P und NFP gleichwertig sind. Wir nennen 
die Menge (NV, P) die Verbindungsmenge von N und P. Es folgt 
noch 
2. Die Mengen MN und P sind von ihrer Verbindungsmenge M = 
(N, P) verschieden. 
Denn da sie nach V Komplementärmengen von M sind, so ist 
jede eine ächte Teilmenge von M. 
Die Menge (N,P) hat ausser N und P gemäss Axiom I auch 
jede Teilmenge N’ und P’ zu Teilmengen. Damit sind aber, wie 
wir durch ein weiteres Axiom festsetzen, nicht ihre sämtlichen 
Teilmengen erschöpft. Gemäss Satz (1) und (la) ist auch N’ zu P’ 
fremd, ebenso N’ zu P und WN zu P’; nach Axiom V giebt es 
daher je eine Menge 
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Für sie setzen wir nun fest: 
VI. Ist M = (N,P) so sind auch die Mengen. 
(OSL (UNG LO) (UNG 124) 
Teilmengen von M; es ist aber auch jede von N, N’ P, P’ ver- 
schiedene Teilmenge von dieser Form. 
Wir folgern hieraus den Satz: 
