790 
2a. Die Beziehungen Mb M und Me M sind widerspruchsvoll. Sie 
fordern nämlich das gleichzeitige Bestehen von 
M’ — M und kein M, — M. 
Dagegen sind die Beziehungen Ma M und Md M widerspruchsfrei. 
Uebrigens lässt sich dies auch als unmittelbare Folge von (1) und 
(2) auffassen. 
Sei P eine weitere Menge, so besteht zwischen N und P eben- 
falls eine der Beziehungen 
NINE NBSRR MINE END aero sc RK) 
und es entsteht die Frage, welche Folgerung sich für die Mengen 
M und P einstellt, wenn man eine Beziehung der Reihe A mit 
einer Beziehung der Reihe 5 kombiniert. Diese Aufgabe lässt sich 
ohne Hinfiihrung neuer Axiome nicht erledigen. Ein erstes, das den 
Begriff der Teilmenge mit dem der Aequivalenz verbindet, sei das 
folgende: 
I. Aus den Relationen 
M'tM, MN 
lassen sich die Relationen 
N't M, N'— M' 
folgern; d.h. Ist M~ N, so bedingt eine jede Teilmenge M’ von M 
die Existenz einer Teilmenge N’ von N, die zu M’ aequivalent ist. 
Vielleicht mag man erwarten, dass die Menge N’ als diejenige 
wolbestimmte Menge eingeführt wird, die der Menge J/’ gemúss 
der zwischen M und N bestehenden Aequivalenz entspricht. Aber dies 
ist fiir den hier vorgenommenen Aufbau — jedenfalls an dieser 
Stelle — weder möglich noch nötig. Es genügt, die Mwistenz einer 
Menge N’ zu fordern; welches diese Menge ist, darf ganz offen 
bleiben. Es hängt dies damit zusammen, dass die Aequivalenz M— N 
in ihrer besondern Eigenart hier nicht in Frage kommt; nur die 
Relationen, die die Higenart des Aequivalenzbegriffs kennzeichnen, 
und fiir zwei Mengen und ihre Teilmengen bestehen, werden in 
Betracht gezogen. 
Einen Teil der oben gestellten Frage hat bekanntlich schon Cantor 
selbst beantwortet; man zeigt leicht 
3. Aus Ma N und NaP folgt Ma P. 
Aus Ma N und Nb P folgt Mb P. 
Aus Ma WN und Nc P folgt Mc P. 
Aus Mb N und NOP folgt Md P. 
Aus Mc N und Nc P folgt Mc P’). 
Sw) oP CN he 
1) Diese Tatsachen entsprechen bekanntlich dem Umstand, dass wenn man den 
Fallen a,b,c die Beziehungen ,gleich”, ,kleiner”, grészer’ zuweist, die für 
