794 
aus Md P und Pd N wieder Md N 
und aus Md M und Md P wieder Md P 
folgt ; hier aber ist der widerspruchsfreie Character evident. Also folgt: 
9. Mit den Beziehungen MdN und NdP kann sowol die Beziehung 
MaP, wie MdP zugleich bestehen. 
Keine der beiden Annahmen y und d führt also auf einen Wider- 
spruch mit den in (a@’) enthaltenen Prämissen; wir können daher 
auf diesem Wege nicht zu einem Resultat über die vorliegende 
Frage gelangen. Man muss daher in der Tat die Folgerung, die sich 
aus MdN und NdP ergiebt, aviomatisch einführen ; naturgemäss so, 
wie es durch den realen Tatbestand der Mengenlehre gefordert wird. 
Ihn aufzubauen ist ja einer der Zwecke dieser Darstellung. Wir setzen 
daher fest (Aviom der Verkniipfung) 
U. Aus Md N und Nd P folgt Md P. 
Hieraus erhalten wir nun leicht die Antwort auf die noch aus- 
stehenden Verknüpfungen für die Beziehungen (A) und (B). Zunächst 
beweist man 
10. Aus Mb N und NdP folgt Md P. 
10a. Aus Mc N und NdP folgt Mc P. 
Fiir den Beweis von (10) haben wir auszugehen von 
kein M, — N, ein N’ = M, 
kein VN, - P, kein P, — N, 
und daraus die Beziehung Mb P, also 
kein M, — P, ein P'- M 
abzuleiten. Wir folgern zunächst, dass eine Beziehung 
M" — P 
unmöglich ist. Aus V’ ~ M würde nämlich auf Grund dieser Annahme 
die Existenz einer Teilmenge NV” folgen, fiir die 
N" = M"=P 
wäre, im Widerspruch zu kein NV, ~ P. Damit ist die Beziehung 
kein M, ~ P erwiesen. Es ist jetzt noch zu zeigen, dass es ein 
P’~ M giebt. Ware dies nicht der Fall, so bestände auf Grund 
des vorstehenden jetzt die Beziehung 
kein UM, — P, kein P, — M, 
also die Relation Md P, und zusammen mit der vorausgesetzten 
Beziehung Pd N folgte gemäss Axiom II die Beziehung Md N, im 
Widerspruch zu M6 N. Damit ist der Beweis wieder geliefert. 
Ebenso wird der Beweis für Me N und Nd P geführt, was einer 
ausführlichen Darstellung nicht bedarf. 
