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14. Aus M’tM und MON folet Wb N; 
d.h. Besteht die Beziehung M5 N, so besteht für jede Teilmenge 
M’ von M die Beziehung JM’ 6 N. 
Man hat nämlich gemäss (13) und nach Voraussetzung. 
M’ aM oder M’b M und Mb N, 
und damit gemäss Satz (4) und (6) die Behauptung. 
15. Aus MtM, M’tM’, M''b M folgt M'’5 M; 
d.h. Sind M' und MM" Teilmengen von M, für die die Beziehung 
M" 6 M' gilt, so ist auch M"b M*). 
Man hat nämlich wieder zugleich (nach 13) 
M’bM und M aM oder M'b M 
und folgert daraus wie eben M"5 M. 
§ 4. Endliche und unendliche Mengen. 
Nach § 3, Satz (1) und (2) sind Ma M und Md M die beiden 
einzigen der Beziehungen (a), (4), (c),(d), die eine Menge zu sich 
selbst haben kann; wir definiren nun: 1. Kine Menge heisst wn- 
endlich, wenn die Beziehung M a M besteht; sie heisst endlich, wenn 
M dM gilt. Man hat also im ersten oder zweiten Fall 
ein M’ — M; kein M, — M, 
und damit die Dedekindsche Begriffsbestimmung. 
Wir folgern zunächst: 
2. Aus MaM oder MdM und M— ®M folgt MaM und MAM. 
Dies ist eine unmittelbare Folge von $ 3, (12). 
Fúr endliche und unendliche Mengen bestehen gewisse Sonder- 
sdize; diese sollen jetzt abgeleitet werden. Das Haupttheorem lautet: 
3. Fiir unendliche Mengen können nur die Beziehungen (a), (0), (c) 
bestehen; für endliche Mengen nur (b), (©), (d). 
Der Beweis ergiebt sich unmittelbar aus den in $ 3 abgeleiteten 
Resultaten. 
Sind nämlich M und N unendliche Mengen, und würde die Be- 
ziehung Md N bestehen, so hätte man 
Ma M und Md N, 
und dies verstésst gegen den Satz (11a) von § 3. 
Ebenso, wenn M und MN endliche Mengen sind, so hätte man. 
falls sie die Beziehung Ma N gestatten, 
Na M und Md M, 
und auch dies verstösst gegen Satz (11a) von § 3. 
Damit ist der Saiz (3) bewiesen. Er giebt zugleich den inneren 
') Dieser Satz berfihrt sich inhaltlich mit dem Satz 25 in Zermelos Grund- 
lagen (Math. Ann. 65, S. 271). 
