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Grund fiir die im Satz (11) von § 3 enthaltene Unvereinbarkeit von 
Ma N und Nd P. Denn unserm Satz (3) gemäss besagt Ma N, dass 
M und XN unendliche Mengen sind, und N d P, dass N und P endliche 
Mengen sind. Beides schliesst sich aber aus. 
4. Fiir jede Teilmenge einer endlichen Menge besteht die Beziehung 
Mose dhe: 
Aus Md M und M’t M folgt MW’ dM. 
Gemäss Satz (13) von § 3 gilt nämlich für jede Menge M und 
eine Teilmenge J’ von ihr 
M' a M oder M’ 6 M. 
Hierzu kommt, da M eine endliche Menge ist, Md M. Diese Be- 
ziehung kann aber nach Satz (11) von §3 mit W a M nicht zugleich 
bestehen ; also muss es J/’ 6 M sein. 
Die weiteren noch abzuleitenden Sätze machen die Einführung 
eines neuen Axioms nötig, und zwar eines Awioms über die Aequi- 
valenz von Verbindungsmengen. Es lautet: 
[Au SUSSEN SD) RENE Lat ENDE) EE 
d.h. werden in der Verbindungsmenge (N, P) die Mengen N und P 
durch die zu ihnen aequwalenten zu einander fremden Mengen N und 
P ersetzt, so ist die neue Menge der urspriinglichen aequivalent. 
Das Axiom gilt gemäss § 1, III auch für den Fall, dass nur eine 
Menge durch eine aequivalente ersetzt wird, d.h. 
5 As Wil UNG 12), AN = ote Sty JP roller GN, 1) (OR) 5 
Wir beweisen nun der Reihe nach folgende Sätze: 
6. Jede Teilmenge einer endlichen Menge ist selbst eine endliche 
Menge; d.h. 
Aus Md M, M’tM folgt M’d M’. 
Ware nämlich M’ eine unendliche Menge, so müsste eine Beziehung 
M"— M' 
bestehen. Setzt man nun 
M=(M',M), 
so ist gemäss § 2, VI auch 
M" — (M", M,) 
eine Teilmenge von M, und aus Satz (5) folgte 
M" = M; 
was einen Widerspruch gegen MJM darstellt. 
7. Ast M eine endliche, N eine unendliche Menge, so kann nur 
die Beziehung MON bestehen*);d.h. Aus MAM und NaN folgt MON. 
') Es liegt nahe, Satz 5) als Axiom hinzustellen, und das Axiom als Folge. 
Der Beweis hätte aber die sachlich überflüssige Annahme N f P notig. 
2) Auf diesen Satz wurde ich vor längerer Zeit von Herrn H. Haun auf- 
merksam gemacht. 
