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Der Beweis wird so gefiihrt, dass die Unvereinbarkeit der Voraus- 
setzungen mit MaN, MeN, MdN gezeigt wird. 
Würde zunächst die Beziehung Ma N bestehen, so hätte man M'—= N; 
und demgemäss erhielte man aus der Annahme MaN nach $ 3 
Satz 12 weiter auch 
Ma M’ resp. M’ a M, 
was aber, da M endliche Menge ist, gegen Satz (4) verstösst, 
Ware zweitens MeN in Kraft, so folete daraus M' — N,und nun 
hieraus und aus NaN weiter 
Wa’, 
was wiederum einen Widerspruch zum Satz (6) darstellt. 
Endlich ist auch die Beziehung MdN unméglich. Dennaus MaM 
folgt zunächst 
INN 
hieraus und aus NaN und der angenommenen Relation MdN folgte 
dann weiter 
NaN’ und Md N? resp. N’d M. 
Die Beziehungen NaN’ und N’dM sind aber gemäss $ 3 Satz (11) 
nicht zugleich möglich. Also gilt in der Tat die Beziehung MON. 
8. Ist M eine unendliche Menge, so ist auch die Verbindungs- 
menge (M, N) eine unendliche Menge. 
Der Beweis ist eine unmittelbare Folge des Axioms I. Denn 
aus M’ — M folgt (M,N) — (M’, N) 
und damit ist der Satz, da (J/’, N) Teilmenge von (M7, N) ist, bewiesen. 
9. Eine Menge ist unendlich, wenn sie eine unendliche Teilmenge hat. 
Ist nämlich M’ diese Teilmenge, so ist 
M= (M', M‚) 
und daher gemäss Satz (8) auch M eine unendliche Menge. 
Man kann diesen Satz auch noch so formulieren: 
9’. Eine Menge ist endlich, wenn jede ihrer Teilmengen endlich ist. 
10. [st M eine endliche Menge, so ist stets Mb (M,N); d.h. Aus 
Md M folgt Mb (M,N). 
Es ist nämlich M Teilmenge von (VW, NV). Ist nun (M/, N) endlich, 
so folgt der Satz aus (6), ist aber (7, NV) unendlich, so folgt er aus (7). 
Zur Ableitung weiterer Sätze bedürfen wir neuer Axiome. Das 
Axiom | besagt, dass die Verbindungsmengen aequivalenter Mengen 
selbst aequivalent sind; wir haben jetzt noch zwei Axiome nötig, 
die die Nichtaeguivalenz der Verbindungsmengen nicht aequivalenter 
Mengen betreffen. 
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Proceedings Royal Acad. Amsterdam. Vol. XXII. 
