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II. Sind M und N fremde Mengen, ist M, Teilmenge von M und N, 
Teilmenge von N, und ist M, nicht == M, N, nicht~ N, so folgt 
daraus die Beziehung (M,, N,) nicht ~ (M,N); d. h. 
Aus MfN, M,tM, N,tN, M, nicht — M, N, nicht N 
folgt (M,, N,) nicht — (M, N). 
Dieses Axiom soll für alle Mengen gelten. Für endliche Mengen 
reicht es aber noch nicht aus, und werde durch das folgende 
ersetzt und ergänzt: 
UI. Sind M und N fremde und zugleich endliche Mengen, und ist 
M, Teilmenge von M, so soll stets(M,, N) nicht ~ (M, N) sein; d.h. 
Aus MfN, MdM, NdN, M,tM folgt (M,,N) nicht — (M,N). 
Für unendliebe Mengen braucht dieses Axiom bekanntlich nicht 
erfüllt zu sein. 
Auch die Voraussetzungen dieser Axiome besitzen durchaus den 
in der Einleitung genannten logischen Sondercharacter; sie sind 
sdmtlich negativer Natur, soweit es sich um die hier allein in Frage 
stehenden Aequivalenzbeziehungen handelt. Man könnte freilich 
annehmen, dass in diesem Fall ein indirectes Beweisvertahren zum 
Ziele fiihren werde; die Annahme 
(M,, N,) — (WM, N) resp. (,, VN) — (M, N) 
ist ja von positivem Character. Aber diese Vermutung triigt. Die 
Aequivalenz von Verbindungsmengen ist nämlich keineswegs nur so 
möglich, dass M,~ M und N, — N, ist sondern auch auf andere 
Weise; und daher kann aus der angenommenen Aequivalenzbeziehung 
ein Widerspruch mit den Voraussetzungen 
M, ncht — M, N, nicht — N 
nicht abgeleitet worden. 
Die negative Fassung unserer Axiome stellt uns zunächst vor die 
Aufgabe, die bestimmte Beziehung (a), (6), (c),(d) aufzufinden, die 
zwischen (J, NV) und den Mengen (JZ, N,) und (JZ, N) besteht. Für 
das Axiom II kann es erst im nächsten Paragraphen geschehen; 
fiir das Axiom III soll es hier folgen. 
Da (1, NV) Teilmenge von (MS, N) ist, so kann nach Satz 13 von 
$ 3 nur die Beziehung (a) oder (6) realisirt sein. Aber der Fall (a) d. h. 
(U, N) a(M, N) 
ist unmöglich. Jede Teilmenge von (M,, N) hat nämlich nach § 2, 
VI eine der Formen 
M,, M,, N,N,, (M,,N), (MN), (MN), 
wo M, eine Teilmenge von M, ist. Keine von ihnen kann aber zu 
(M, N) aequivalent sein. Da nämlich M und N endliche Mengen 
sind, so hat man für sie gemäss (10) die Relationen 
