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Mb (M, N) und Nb (M, N). 
Gemäss Satz (4) hat man weiter 
M,bM, M‚bM, N,bN 
und damit folgt die Behauptung nach Satz (6) von § 3 bereits fir 
M,, M,, N, N,. Für die drei Verbindungsmengen folgt sie aus den 
Axiomen selbst; es ist ja, da MJ und WN endliche Mengen sind, 
M, micht — M, M, nicht — M, N, nicht — N 
und damit ist in der Tat die behauptete Nichtaequivalenz eine Folge 
von (II) und (III). Also 
11. Für endliche (und fremde) Mengen M und N gilt die Beziehung 
(M,, N) b(M, N). 
12. Die Verbindungsmenge zweier endlichen Mengen ist selbst 
endlich; d.h. 
Aus Md M und Nd N folgt (M‚, N) d(M, N). 
Wir haben nachzuweisen, dass die Beziehung 
(M‚ N) a(M, N) 
ausgeschlossen ist. Nun hat jede Teilmenge von (M, NV) wieder eine 
der Formen 
M, M,, N, N,, (M‚N), (U, N), (4. N,) 
und wir beweisen, genau wie eben (vgl. auch § 5, 2), dass keine 
dieser Mengen zu (VM, N) aequivalent ist. Damit ist der Satz bewiesen. 
§ 5. Das Aequivalenzproblem. 
Die wichtigste Aufgabe, die zu behandeln ist, betrifft den Nach- 
weis, dass die Mengen M und WN aequivalent sind, talls für sie die 
Beziehung 
Ma N oder Md N 
besteht; also der Satz (Aequivalenzsatz) 
1. Aus Ma N oder Md N folgt M— N. 
Ehe der Beweis gefiilrt wird, sollen die Aequivalenz-Relationen 
vorangestellt werden, die sich aus den vorstehenden Paragraphen 
unmittelbar ergeben : 
2. Aus Mb N und MeN folgt M nicht — N. 
Ware nämlich 1 ~ MN, so hätte man auch (§ 3, 12) 
NbN oder Ne N, 
was aber gemäss § 3, 3 widerspruchsvoll ist. Hieraus folgt unmittel- 
bar weiter 
3. Mit M=— N ist nur Ma N oder Md N vertriglich. 
Die Umkehrung dieses Satzes 3 ist es, die den eigentlichen Aequi- 
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