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valenzsatz (1) bildet. Ist er bewiesen, so folgt endlich noch, als 
Umkehrung von (2) 
4. Aus M nicht — N folgt MbN oder McN. 
Man kann diese vier Sätze auch folgendermassen zusammenfassen: 
Die Beziehungen (a) und (d) sind hinreichende und notwendige Be- 
dingungen fiir die Aequivalenz, (b) und (c) ebenso fiir die Nicht- 
aequivalenz. 
Als Folge von (4) ergiebt sich, was in $ 3 und 4 noch offen 
bleiben musste, 
5. Aus M‚tM und M, nicht~ M folgt M,6 M. d.h. Besteht 
fiir die Teilmenge M, von M die Beziehung M, nicht~ M, so gilt 
M, b M. 
Denn nach (4) gilt 17,6 M oder M,c M; nach Satz (13) von § 3 
nur M,aM oder M,6 M, also gilt M,b M. 
Hine Anwendung hiervon giebt auch Antwort auf die beziiglich 
des Axioms II in § 4 gestellte Frage. Es folgt jetzt 
6. Sind M, und N, Teilmengen von M und N, undist M, nicht 
~ M,N, nicht ~ N, so folgt daraus stets (M,, N,) 6 (M, N). 
Wir gehen nun zum Satz (1) über und beweisen zunächst den 
ersten Teil, also den eigentlichen Bernsteinschen Aequivalenzsatz. 
Sein Beweis folgt aus dem Axiom II von § 4 über die Nichtaequi- 
valenz der Verbindungsmengen. 
Aus der Voraussetzung Ma N folgt zunächst 
ein M’ — N, ein N’ = M. 
Ware nun M nicht ~ N, so hätte man nach § 1, 3 
SM mcht — M’, N’ nicht — N. 
Mit M und NV sind aber auch J’ und N’ fremde Mengen (§ 2, 1); 
sie bestimmen daher eine Menge (M’, N’), und für sie müsste gemäss 
Axiom II nunmehr 
(M’, N’) nicht — (iM, N) 
folgen. Andererseits folgt aber aus den beiden ersten Relationen 
unmittelbar nach § 4, I 
(M'‚ N') = (M.N) 
und damit ergiebt sich ein Widerspruch. Damit ist der Beweis 
bereits geliefert 
Freilich beruht der Beweis auf einer gewissen Voraussetzung, die 
noch zu erörtern ist. Wir operieren mit der Verbindungsmenge von 
M und N und haben deshalb die Voraussetzung nötig, dass M und 
N fremde Mengen sind. Sind sie es nicht, so wird man am ein- 
