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fachsten so vorgehen, dass man folgendes neue Axiom zu Grunde 
legt: *) 
I. Sind M und N keine fremden Mengen, so giebt es stets zwei 
tinen aequivalente, zu einander fremde Mengen ® und ® ; so dass also 
end — Ne nd Ik ft 
Gemäss § 3, 12 besteht auch für sie die Beziehung 
M a M, 
und auf sie lässt sich daher der obige Beweis übertragen. Aus MM ~ N 
folgt dann auch WM ~ N. 
Es handelt sich nun noch um den gleichen Nachweis fiir die 
Beziehung Md N. Ehe ich dazu übergehe, erinnere ich daran, dass 
die Eigenart der Beziehung M/d N in der Cantorschen Theorie offen 
geblieben war; für das durch sie bedingte Verhältnis von Jf zu N 
hatte sich ein Resultat nicht ableiten lassen. Das darf nicht Wunder 
nehmen; das hierin enthaltene Problem stellt nämlich wieder ein 
logisch unlösbares Problem, und damit eine illusorische Aufgabe dar. 
Wir haben ja als Prämissen zunächst nur die Aussagen 
kein M, ~ N, kein N, ~ M. 
Dazu kommen, da M und N endliche Mengen sind, 
kein M, ~ M, kein N,= N, 
also lauter Aussagen von negativem Character. Selbst der Weg des 
indirecten Beweises ändert daran in diesem Fall nichts; denn man 
müsste noch die Annahme 
M nicht ~ N 
hinzufügen. Nun wäre es ja möglich, dass die für den Beweis einzig 
in Frage kommenden Axiome II und III der Nichtaequivalenz von 
§ 4 die Prämissen positiv beeinflussen könnten; aber auch das ist 
nicht der Fall. Denn diese Axiome lauten ja in ihrem Schlussteil 
übereinstimmend 
(M,, N,) nicht ~ (M, N). 
Wir müssen also von Prämissen ausgehen, die samt und sonders 
negativ sind, und kommen zu dem Schluss, dass sich die Aequivalenz 
M — N im Fall endlicher Mengen ohne eine nochmalige neue 
axiomatische Festsetzung nicht folgern lässt. Das so gewonnene 
Resultat lásst sich auch in seiner allgemeinen Bedeutung leicht ver- 
stehen. Es láuft dem Tatbestand parallel, der uns aus der allge- 
meinen Theorie der endlichen Zallgrössen geläutig ist. Dort muss die 
Festsetzung, wann zwei Grössen als gleich gelten sollen, erst frei — 
1) Es entspricht dem von Zermero in seinen Grundlagen (Math. Ann. 65) 
enthaltenen Theorem 19. 
