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natürlich zweekgemäss — geformt werden, ehe man die Frage, ob 
zwei gegebene Grössen als gleich zu gelten haben, in Betracht ziehen 
kann. Man denke z. B. an die Weierstrassische Theorie der Irratio- 
nalzahlen; sie setzt bekanntlich die Gleichheit zweier Zahlen « und 
b so fest, dass jeder Bestandteil von a kleiner ist als 6 und jeder 
Bestandteil von 6 kleiner als a. Eine solche axiomatische Festsetzung 
erweist sich also auch im Gebiet der endlichen Mengen, wenn man 
sie, wie hier, ausschliesslich auf die Mengenbeziehungen, d.h. auf 
die Nichtaequivalenz von Menge und Teilmenge griindet, als eine 
Notwendigkeit. 
Es fragt sich nur, welche Festsetzung man zweckmassig zu Grunde 
legt. Beachtet man, dass es sich im Grunde um eine Axiomatik der 
Grössenlehre handelt, so liegt offenbar nichts näher, als die eben 
genannte Definition zu benutzen, und dies soll in der Tat geschehen. 
Wir setzen also fest (Aviom der Aquivalenz endlicher Mengen) 
U. Zwei endliche Mengen M und N sind aequivalent, wenn für 
gede Teilmenge M' und N’ die Beziehung M’ b N resp. N’ 6 M besteht; d.h. 
Aus MdM, NdN, M’bN, N’6M furjedes M’, N’ folgt M~ N. 
Hieraus lässt sich der Satz, dass aus Md N auch M~ N folgt, 
unmittelbar folgern. Ehe wir dazu übergehen, wollen wir noch die 
Berechtigung unseres Axioms und seine Stellung im gesamten Aufbau 
näher erörtern. Wir wollen zunächst nachweisen, dass von den vier 
Beziehungen 
MaN, MbN, MeN, Md N 
nur die letzte mit dem Axiom verträglich ist. 
Aus Ma N folgt 
ein M’ ~ N; 
gemäss unserm Axiom ist aber für jedes M’ 
M'b N 
und man erhielte also V6 N, was aber nach § 3,3 widerspruchs- 
voll ist. 
Aus 6 N folgt 
Cin IY =~ slp 
was analog zur Relation Mb M führt, die ebenfalls widerspruchsvoll ist. 
Endlich folgt aus Me N genau wie eben die widerspruchsvolle 
Relation NV 6 N. 
Unser Axiom kann also in der Tat nur mit der Beziehung M d NV 
verträglich sein. Dies ist aber auch wirklich der Fall. Die Folge- 
rungen, die sich aus 
M’bN und Md N, aus N’b M und Md MN 
