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folgt. Im Fall (1) und (5) sind nun M und ® nach $4, Satz 3 
unendliche Mengen, also gilt dies nach §4,8 auch von (JZ, N) und 
ON, 2) und daher ergiebt sich wieder 
(ML, N) a (MM, N). 
Im Fall (4) sind dagegen M, N, MN, NM endliche Mengen, also auch 
(64,12) (MZ, N) und (9R,N) und daher ist 
(M,N) d (NR, Ny. 
Wir beweisen nun den Satz (2)'). Dazu gehen wir von den 
Relationen 
MbM und NR 
aus, also von den Beziehungen 
kein M,~ wt MM! — M, 
kein NS NE 
und erhalten zunächst 
(M', W’) T(M, N) 
Wir folgern nun aus den gegebenen Relationen Mb ® und 
NON mittels M — M’ und N~ N’ weiter 
MEM und MN 
oder aber ($ 5, 2) 
M' nicht ~ M, MN! nicht — N 
und daraus endlich, gemäss Satz (6) von § 5 
(ON, NW’) 6 AN, M) oder 
(IM, N) b (N,N). 
In derselben Weise beweist man den Satz 3. Ein letzter Satz, der 
sich ableiten lässt, lautet: 
6. Ist M eine endliche Menge, so folgt 
aus MbM und NdN (M,N) (M,N). 
1) Geht man zu Mächtigkeiten über, so bezieht sich der obige Satz auf den 
Fall, dass 
m,< m, und n, <n, 
m, +n, <m, + n,. 
In der allgemeinen Theorie fehlt noch heute ein Nachweis dieser Folgerung. 
Sie ist von EF. Brernstem unter der Annahme bewiesen worden, dass ti, mit nj 
„vergleichbar” ist. (Math. Ann. 61 (1905) S. 129). Nun scheidet zwar in dem 
vorliegenden Aufbau die Vergleichbarkeit als offene Frage gemäss Satz 1 von § 4 
aus, der Bernsteinsche Beweis stützt sich aber ausserdem auf den Aequiva- 
lenzsatz. Der obige Beweis stützt sich dagegen auf das Axiom II von § 4, das ja 
auch den Bernsteinschen Aequivalenzsatz zur Folge hat. 
ist; er schliest daraus 
